Jarak terdekat kurva y = 3 x 2 − 4 x ke garis 3 y = 4 x − 8 adalah ....

Pembahasan

Misalkan titik ( m , n ) terletak pada kurva y = 3 x 2 − 4 x sehingga diperoleh persamaan berikut ini. n = 3 m 2 − 4 m … ( 1 ) Langkah 1: Hitung jarak titik ( m , n ) ke garis 3 y = 4 x − 8 . d = ∣ ∣ ​ 4 2 + ( − 3 ) 2 ​ 4 ( m ) − 3 ( n ) − 8 ​ ∣ ∣ ​ d = ∣ ∣ ​ 5 4 m − 3 n − 8 ​ ∣ ∣ ​ … ( 2 ) Langkah 2: Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2). d ​ = = = ​ ∣ ∣ ​ 5 4 m − 3 ( 3 m 2 − 4 m ) − 8 ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 5 4 m − 9 m 2 + 12 m − 8 ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 5 16 m − 9 m 2 − 8 ​ ∣ ∣ ​ ​ Berdasarkan definisi nilai mutlak, didapat hasil sebagai berikut. ​ ​ ∣ ∣ ​ 5 16 m − 9 m 2 − 8 ​ ∣ ∣ ​ ​ = { ​ ​ 5 16 m − 9 m 2 − 8 ​ ​ ​ ​ 5 9 m 2 − 16 m + 8 ​ ​ ​ Langkah 3: Hitung nilai d minimum dengan mencari nilai m sehingga d ′ = 0 . Untuk d = ​ ​ 5 16 m − 9 m 2 − 8 ​ ​ , didapat nilai m sebagai berikut. d ′ 5 16 − 2 ⋅ 9 m − 0 ​ 5 16 − 18 m ​ 16 − 18 m − 18 m m m ​ = = = = = = = ​ 0 0 0 0 − 16 − 18 − 16 ​ 9 8 ​ ​ Untuk d = ​ ​ 5 9 m 2 − 16 m + 8 ​ ​ , didapat nilai m sebagai berikut. d ′ 5 2 ⋅ 9 m − 16 + 0 ​ 5 18 m − 16 ​ 18 m − 16 18 m m m ​ = = = = = = = ​ 0 0 0 0 16 18 16 ​ 9 8 ​ ​ Substitusikan nilai m ke fungsi d sehingga didapat hasil perhitungan sebagai berikut. d ​ = = = = = = ​ ∣ ∣ ​ 5 16 m − 9 m 2 − 8 ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 5 16 ( 9 8 ​ ) − 9 ( 9 8 ​ ) 2 − 8 ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 5 9 128 ​ − 9 64 ​ − 8 ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 5 − 9 8 ​ ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ − 45 8 ​ ∣ ∣ ​ 45 8 ​ ​ Dengan demikian, jarak terdekat kurva ke garis tersebut adalah satuan panjang. Jadi, jawaban yang tepat adalah E.