Jarak terdekat dari kurva y = − 2 1 ​ x 2 − 4 ke garis y = 2 x + 6 adalah ....

Pembahasan

Misalkan titik ( m , n ) terletak pada kurva y = − 2 1 ​ x 2 − 4 sehingga diperoleh persamaan berikut ini. n = − 2 1 ​ m 2 − 4 … ( 1 ) Langkah 1: Hitung jarak titik ( m , n ) ke garis y = 2 x + 6 atau 2 x − y + 6 = 0 . d = ∣ ∣ ​ 2 2 + ( − 1 ) 2 ​ 2 ( m ) − 1 ( n ) + 6 ​ ∣ ∣ ​ d = ∣ ∣ ​ 5 ​ 2 m − n + 6 ​ ∣ ∣ ​ … ( 2 ) Langkah 2: Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2). d ​ = = = ​ ∣ ∣ ​ 5 ​ 2 m − ( − 2 1 ​ m 2 − 4 ) + 6 ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 5 ​ 2 m + 2 1 ​ m 2 + 4 + 6 ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 5 ​ 2 1 ​ m 2 + 2 m + 10 ​ ∣ ∣ ​ ​ Berdasarkan definisi nilai mutlak, didapat hasil sebagai berikut. ​ ​ ∣ ∣ ​ 5 ​ 2 1 ​ m 2 + 2 m + 10 ​ ∣ ∣ ​ ​ = ⎩ ⎨ ⎧ ​ ​ ​ 5 ​ 2 1 ​ m 2 + 2 m + 10 ​ ​ ​ ​ 5 ​ − 2 1 ​ m 2 − 2 m − 10 ​ ​ ​ Langkah 3: Hitung nilai d minimum dengan mencari nilai m sehingga d ′ = 0 . Untuk d = ​ ​ 5 ​ 2 1 ​ m 2 + 2 m + 10 ​ ​ , didapat nilai m sebagai berikut. d ′ 5 ​ 2 ⋅ 2 1 ​ m + 2 + 0 ​ 5 ​ m + 2 ​ m + 2 m ​ = = = = = ​ 0 0 0 0 − 2 ​ Untuk d = ​ ​ 5 ​ − 2 1 ​ m 2 − 2 m − 10 ​ ​ ,didapat nilai m sebagai berikut. d ′ 5 ​ 2 ⋅ ( − 2 1 ​ ) m − 2 − 0 ​ 5 ​ − m − 2 ​ − m − 2 − m m ​ = = = = = = ​ 0 0 0 0 2 − 2 ​ Substitusikan nilai m ke fungsi d sehingga didapat hasil perhitungan sebagai berikut. d ​ = = = = = = = ​ ∣ ∣ ​ 5 ​ 2 1 ​ m 2 + 2 m + 10 ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 5 ​ 2 1 ​ ( − 2 ) 2 + 2 ( − 2 ) + 10 ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 5 ​ 2 − 4 + 10 ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 5 ​ 8 ​ ∣ ∣ ​ 5 ​ 8 ​ 5 ​ 8 ​ ⋅ 5 ​ 5 ​ ​ 5 8 ​ 5 ​ ​ Dengan demikian, jarak terdekat kurva ke garis tersebut adalah 5 8 ​ 5 ​ satuan panjang. Jadi, jawaban yang tepat adalah D.