In problem 3 to 6, match the solution region of each system of linear inequalities with one of the four regions shown in the figure. Identify the corner points of each solution region.   ⎩⎨⎧​x+3y≥182x+y≤16x≥0y≥0​

Akan dicek daerah penyelesaian yang memenuhi SPtLDV pada soal dengan mensubstitusikan titik $$\left(0,0\right)$$ ke pertidaksamaan pada SPtLDV diatas.

untuk $$2x-3y\ge 6$$ maka diperoleh

 $$\begin{array}{rcl}2x-3y& \ge & 6\\ 2(0)-3(0)& \ge & 6\\ 0& \ge & 6(\mathrm{salah})\end{array}$$.

untuk $$-2x+3y\le 12$$ maka diperoleh

 $$\begin{array}{rcl}-2\mathrm{x}+3\mathrm{y}& \le & 12\\ -2(0)+3(0)& \le & 12\\ 0& \le & 12(\mathrm{benar})\end{array}$$.

Dengan demikian, diperoleh daerah penyelesaian yang memenuhi SptLDV pada soal sebagai berikut

 

Langkah-langkah dalam menentukan daerah himpunan penyelesaian adalah sebagai berikut:

1. Gambarkan $$x+y\le 50$$ 

Pertama gambar garis $$x+y\le 50$$ dengan mencari titik potong terhadap sumbu koordinat yaitu seperti disajikan pada tabel:

 

Karena bertanda $$\le$$ maka daerah penyelesaiannya adalah arsiran ke bawah.

2. Gambarkan $$3x+5y\le 150$$ 

Pertama gambar garis $$3x+5y\le 150$$ dengan mencari titik potong terhadap sumbu koordinat yaitu seperti disajikan pada tabel:

 

Karena bertanda $$\le$$ maka daerah penyelesaiannya adalah arsiran ke bawah.

3. Perhatikan bahwa pertidaksamaan $$x\ge 0\text{dan}y\ge 0$$ membatasi daerah penyelesaiannya hanya pada kuadran pertama.

Dengan demikian, daerah himpunan penyelesaian dari SPtLDV: , , , dan  adalah sebagai berikut:

 

Perhatikan grafik berikut.

Jika diketahui titik koordinat  maka persamaan garisnya adalah 

Berdasarkan informasi soal, maka terdapat dua persamaan garis:

1. Jika titik koordinat  maka persamaan garisnya adalah 

2. Jika titik koordinat  maka persamaan garisnya adalah 

Menentukan daerah penyelesaian yang memenuhi:

1. Daerah penyelesaian . Substitusikan titik uji  pada  diperoleh  (benar) sehingga daerah yang memuat titik  merupakan himpunan daerah penyelesaian (daerah yang diraster). Berdasarkan informasi gambar di atas, maka daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi yaitu nomor I, dan II.
2. Daerah penyelesaian . Substitusikan titik uji  pada  diperoleh  (salah) sehingga daerah yang memuat titik  bukan merupakan himpunan daerah penyelesaian (daerah yang diraster). Berdasarkan informasi gambar di atas, maka daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi yaitu nomor I dan IV.
3. Daerah penyelesaian  terletak di sebelah kanan sumbu Y (daerah yang diraster di sebelah kanan sumbu Y).  Berdasarkan informasi gambar di atas, maka daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi yaitu nomor I, II, III dan IV.
4. Daerah penyelesaian  terletak di sebelah atas sumbu X (daerah yang diraster di sebelah atas sumbu X).  Berdasarkan informasi gambar di atas, maka daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi yaitu nomor I, II, III, IV dan V.

Dengan demikian, daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan  pada grafik tersebut terletak pada daerah nomor I (merupakan irisan daerah penyelesaian dari ).

Jadi, pilihan jawaban yang tepat adalah A.

 

Model matematika pada persoalan program linear pada umumnya membahas beberapa hal, yaitu:

1. Model matematika berbentuk sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang merupakan bagian kendala-kendala yang harus dipenuhi oleh variabel tersebut.

2. Model matematika yang berkaitan dengan fungsi sasaran yang hendak dioptimalkan.

Dari jawaban a diperoleh model matematika dari persoalan di atas sebagai berikut.

Fungsi objektif, yaitu 

Grafik dari sistem pertidaksamaan linear tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

Dengan demikian, daerah penyelesaian yang menyatakan hasil penjualan rumah adalah sebagai berikut.

Langkah-langkah mencari nilai optimum:

1. Gambar garis dan mencari titik potong kedua garis.

2. Menentukan daerah penyelesaian.

3. Menentukan nilai optimum.

Diketahui fungsi objektif  dengan sistem pertidaksamaan ; ; ;  .

Penyelesaian:

1. Gambar garis dan mencari titik potong kedua garis.

Titik potong sumbu koordinat:

$$\begin{gathered} 2x+3y=6\to (0,2)\&(3,0) \\ 2x+y=4\to (0,4)\&(2,0) \end{gathered}$$

Titik potong kedua garis:

$$\begin{array}{rcl}2x+y& =& 4\\ y& =& 4-2x\end{array}$$

substitusi

$$\begin{array}{rcl}2x+3y& =& 6\\ 2x+3(4-2x)& =& 6\\ 2x+12-6x& =& 6\\ -4x& =& -6\\ x& =& \frac{3}{2}\end{array}$$

substistusi

$$\begin{gathered} y=4-2x \\ y=4-2\cdot \frac{3}{2} \\ y=4-3 \\ y=1 \end{gathered}$$

Didapat titik $$\left(\frac{3}{2},1\right)$$.

Lalu gambar titik-titik yang dilalui sebagai berikut:

2. Menentukan daerah penyelesaian.

Untuk menentukan daerah penyelesaian perhatikan tabel berikut:

• Untuk $$2x+3y\le 6$$ koefisien x positif dan $$\le$$, maka daerah penyelesaian di sebelah kiri garis.
• Untuk $$2x+y\le 4$$ koefisien x positif dan $$\le$$, maka daerah penyelesaian di sebelah kiri garis.
• Untuk $$x\ge 0$$ koefisien x positif dan $$\ge$$, maka daerah penyelesaian di sebelah kanan garis.
• Untuk $$y\ge 0$$ koefisien x positif dan $$\ge$$, maka daerah penyelesaian di sebelah atas garis.

Daerah arsirannya sebagai berikut:

3. Menentukan nilai optimum.

Dari gambar didapat titik-titik pojok (0, 0), (2, 0), $$\left(\frac{3}{2},1\right)$$ dan (0, 2), lalu substitusikan ke fungsi objektif $$f(x,y)=4x+5y$$

$$\begin{gathered} f(0,0)=4(0)+5(0)=0 \\ f(2,0)=4(2)+5(0)=8 \\ f\left(\frac{3}{2},1\right)=4\left(\frac{3}{2}\right)+5(1)=11 \\ f(0,2)=4(0)+5(2)=10 \end{gathered}$$

Jadi didapat nilai maksimum = 11.