Pertanyaan

Lukiskan DHP setiap SPtLDV berikut. Apakah DHP yang terbentuk merupakan daerah tertutup? Jika ya, hitunglah luas daerah tertutup tersebut dan cari koordinat setiap titik pojok yang membatasi daerah tersebut. x + y ≤ 10 , 5 x + 3 y ≥ 15 , − 2 x + 3 y ≤ 15 , 2 x − 5 y ≤ 6

Lukiskan DHP setiap SPtLDV berikut. Apakah DHP yang terbentuk merupakan daerah tertutup? Jika ya, hitunglah luas daerah tertutup tersebut dan cari koordinat setiap titik pojok yang membatasi daerah tersebut.

$x + y \leq 10,$ $5 x + 3 y \geq 15,$ $- 2 x + 3 y \leq 15,$ $2 x - 5 y \leq 6$

I. Sutiawan

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

daerah himpunan penyelesaiandari setiap SPtLDV tersebut adalah daerah tertutup ABCD pada gambar di atasdan luas daerah tertutup ABC tersebut adalah 28 satuan luas .

daerah himpunan penyelesaian dari setiap SPtLDV tersebut adalah daerah tertutup ABCD pada gambar di atas dan luas daerah tertutup ABC tersebut adalah

28 satuan luas

Pembahasan

Langkah pertama adalah kita gambargaris x + y = 10 , 5 x + 3 y = 15 , − 2 x + 3 y = 15 , 2 x − 5 y = 6 seperti pada gambar berikut: Untuk menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut, kita gunakan uji titik untuk masing- masing pertidaksamaan seperti berikut: Daerah pertidaksamaan x + y ≤ 10 . Pada gambar, garis x + y = 10 terbagi menjadi 2 daerah yaitu daerah di atas garis dan di bawah garis, titik ( 0 , 0 ) terletak di bawah garis, sehingga melalui uji titik, daerah penyelesaian x + y ≤ 10 adalah: 0 + 0 0 ≤ ≤ 10 10 Karena menghasilkan bentuk yang salah, maka daerah penyelesaiannya bukan daerah bawah, melainkan sebaliknya, yaitu daerah di atas garis x + y = 10 . Daerah pertidaksamaan 5 x + 3 y ≥ 15 . Pada gambar, garis 5 x + 3 y = 15 terbagi menjadi 2 daerah yaitu daerah di atas garis dan di bawah garis, titik ( 0 , 0 ) terletak di bawah garis, sehingga melalui uji titik, daerah penyelesaian 5 x + 3 y ≥ 15 adalah: 5 ( 0 ) + 3 ( 0 ) 0 ≥ ≥ 15 15 Karena menghasilkan bentuk yang salah, maka daerah penyelesaiannya bukan daerah bawah, melainkan sebaliknya, yaitu daerah di atas garis 5 x + 3 y = 15 . Daerah pertidaksamaan − 2 x + 3 y ≤ 15 . Pada gambar, garis − 2 x + 3 y = 15 terbagi menjadi 2 daerah yaitu daerah di atas garis dan di bawah garis, titik ( 0 , 0 ) terletak di bawah garis, sehingga melalui uji titik, daerah penyelesaian − 2 x + 3 y ≤ 15 adalah: − 2 ( 0 ) + 3 ( 0 ) 0 ≤ ≤ 15 15 Karena menghasilkan bentuk yang benar, maka daerah penyelesaiannya adalahdaerah di bawahgaris − 2 x + 3 y = 15 . Daerah pertidaksamaan 2 x − 5 y ≤ 6 . Pada gambar, garis 2 x − 5 y = 6 terbagi menjadi 2 daerah yaitu daerah di atas garis dan di bawah garis, titik ( 0 , 0 ) terletak di atas garis, sehingga melalui uji titik, daerah penyelesaian 2 x − 5 y ≤ 6 adalah: 2 ( 0 ) − 5 ( 0 ) 0 ≤ ≤ 6 6 Karena menghasilkan bentuk yang benar, maka daerah penyelesaiannya adalahdaerah di atas garis − 2 x + 3 y = 15 . Sehingga, daerah penyelesaian dari keempatpertidaksamaan tersebut adalah irisan daerah dari keempatnya, yaitu: Pada gambar di atas, daerah penyelesaiannya berbentuk daerah tertutup dengan titik pojok A(0, 5), B(3, 7), C(8, 2) dan (3, 0). Maka gambar,ABCD dapat kita tuangkan dalam diagram kartesius berikut: Luas ABCD adalah Luas dari persegi panjang EFGH dikurangi bangun gabungan dari segitiga AED, segitiga CDF, segitiga BCG dan segitiga ABH. Sehingga: L ABCD = = = = = L EFGH − ( L AED + L CDF + L BCG + L ABG ) 8 × 7 − ( 2 1 × 3 × 5 + 2 1 × 5 × 2 + 2 1 × 5 × 5 + 2 1 × 3 × 2 ) 56 − ( 2 15 + 2 10 + 2 25 + 3 ) 56 − 28 28 satuan luas Dengan demikian, daerah himpunan penyelesaiandari setiap SPtLDV tersebut adalah daerah tertutup ABCD pada gambar di atasdan luas daerah tertutup ABC tersebut adalah 28 satuan luas .

Langkah pertama adalah kita gambar garis $x + y = 10$ , $5 x + 3 y = 15$ , $- 2 x + 3 y = 15$ , $2 x - 5 y = 6$ seperti pada gambar berikut:

Untuk menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut, kita gunakan uji titik untuk masing- masing pertidaksamaan seperti berikut:

Daerah pertidaksamaan $x + y \leq 10$ .

Pada gambar, garis $x + y = 10$ terbagi menjadi 2 daerah yaitu daerah di atas garis dan di bawah garis, titik $(0, 0)$ terletak di bawah garis, sehingga melalui uji titik, daerah penyelesaian $x + y \leq 10$ adalah:

$0 + 0 0 \leq \leq 1010$

Karena menghasilkan bentuk yang salah, maka daerah penyelesaiannya bukan daerah bawah, melainkan sebaliknya, yaitu daerah di atas garis $x + y = 10$ .

Daerah pertidaksamaan $5 x + 3 y \geq 15$ .

Pada gambar, garis $5 x + 3 y = 15$ terbagi menjadi 2 daerah yaitu daerah di atas garis dan di bawah garis, titik $(0, 0)$ terletak di bawah garis, sehingga melalui uji titik, daerah penyelesaian $5 x + 3 y \geq 15$ adalah:

$5 (0) + 3 (0) 0 \geq \geq 1515$

Karena menghasilkan bentuk yang salah, maka daerah penyelesaiannya bukan daerah bawah, melainkan sebaliknya, yaitu daerah di atas garis $5 x + 3 y = 15$ .

Daerah pertidaksamaan $- 2 x + 3 y \leq 15$ .

Pada gambar, garis $- 2 x + 3 y = 15$ terbagi menjadi 2 daerah yaitu daerah di atas garis dan di bawah garis, titik $(0, 0)$ terletak di bawah garis, sehingga melalui uji titik, daerah penyelesaian $- 2 x + 3 y \leq 15$ adalah:

$- 2 (0) + 3 (0) 0 \leq \leq 1515$

Karena menghasilkan bentuk yang benar, maka daerah penyelesaiannya adalah daerah di bawah garis $- 2 x + 3 y = 15$ .

Daerah pertidaksamaan $2 x - 5 y \leq 6$ .

Pada gambar, garis $2 x - 5 y = 6$ terbagi menjadi 2 daerah yaitu daerah di atas garis dan di bawah garis, titik $(0, 0)$ terletak di atas garis, sehingga melalui uji titik, daerah penyelesaian $2 x - 5 y \leq 6$ adalah:

$2 (0) - 5 (0) 0 \leq \leq 66$

Karena menghasilkan bentuk yang benar, maka daerah penyelesaiannya adalah daerah di atas garis $- 2 x + 3 y = 15$ .

Sehingga, daerah penyelesaian dari keempat pertidaksamaan tersebut adalah irisan daerah dari keempatnya, yaitu:

Pada gambar di atas, daerah penyelesaiannya berbentuk daerah tertutup dengan titik pojok A(0, 5), B(3, 7), C(8, 2) dan (3, 0). Maka gambar, ABCD dapat kita tuangkan dalam diagram kartesius berikut:

Luas ABCD adalah Luas dari persegi panjang EFGH dikurangi bangun gabungan dari segitiga AED, segitiga CDF, segitiga BCG dan segitiga ABH. Sehingga:

$L_{ABCD} = = = = = L_{EFGH} - (L_{AED} + L_{CDF} + L_{BCG} + L_{ABG}) 8 \times 7 - (\frac{1}{2} \times 3 \times 5 + \frac{1}{2} \times 5 \times 2 + \frac{1}{2} \times 5 \times 5 + \frac{1}{2} \times 3 \times 2) 56 - (\frac{15}{2} + \frac{10}{2} + \frac{25}{2} + 3) 56 - 28 28 satuan luas$

Dengan demikian, daerah himpunan penyelesaian dari setiap SPtLDV tersebut adalah daerah tertutup ABCD pada gambar di atas dan luas daerah tertutup ABC tersebut adalah $28 satuan luas$ .