Pertanyaan

If f ( n ) = 3 2 n + 7 , where n isa natural number, show that f ( n + 1 ) − f ( n ) is divisible by 8 . Hence, prove by induction that 3 2 n + 7 is divisible by .

If $f (n) = 3^{2 n} + 7$ , where $n$ is a natural number, show that $f (n + 1) - f (n)$ is divisible by $8$ . Hence, prove by induction that $3^{2 n} + 7$ is divisible by .

I. Sutiawan

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

pernyataan f ( n + 1 ) − f ( n ) dengan f ( n ) = 3 2 n + 7 habis dibagi 8 .

pernyataan

f (n + 1) - f (n)

dengan

f (n) = 3^{2 n} + 7

habis dibagi

8

Pembahasan

Langkah-langkah induksi: 1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar. f ( 1 + 1 ) − f ( 1 ) = = = = = 3 2 ( 2 ) + 7 − ( 3 2 ( 1 ) + 7 ) 3 4 + 7 − ( 3 2 + 7 ) 81 + 7 − ( 9 + 7 ) 88 − 16 72 72 habis dibagi 8 , sehingga untuk n = 1 , pernyataan benar. 2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya n = k , pernyataan tersebut diasumsikan benar. f ( k + 1 ) − f ( k ) = = = = = = 3 2 ( k + 1 ) + 7 − ( 3 2 k + 7 ) 3 2 k + 2 + 7 − 3 2 k − 7 3 2 k + 2 − 3 2 k 3 2 k . 3 2 − 3 2 k 3 2 k ( 9 − 1 ) 8. 3 2 k ( habis dibagi 8 ) 3. Untuk n = k + 1 akan dibuktikan: f ( ( k + 1 ) + 1 ) − f ( k + 1 ) = = = = = = 3 2 ( k + 1 + 1 ) + 7 − ( 3 2 ( k + 1 ) + 7 ) 3 2 k + 4 + 7 − 3 2 k + 2 − 7 3 2 k + 4 − 3 2 k + 2 3 2 k + 2 . 3 2 − 3 2 k + 2 3 2 k + 2 ( 9 − 1 ) habis dibagi 8 8. 3 2 k + 2 Dengan demikian, pernyataan f ( n + 1 ) − f ( n ) dengan f ( n ) = 3 2 n + 7 habis dibagi 8 .

Langkah-langkah induksi:

1. Buktikan untuk bilangan 1, pernyataan tersebut benar.

$f (1 + 1) - f (1) = = = = = 3^{2 (2)} + 7 - (3^{2 (1)} + 7) 3^{4} + 7 - (3^{2} + 7) 81 + 7 - (9 + 7) 88 - 16 72$

$72$ habis dibagi $8$ , sehingga untuk $n = 1$ , pernyataan benar.

2. Nyatakan untuk bilangan asli sembarang, misalnya $n = k$ , pernyataan tersebut diasumsikan benar.

$f (k + 1) - f (k) = = = = = = 3^{2 (k + 1)} + 7 - (3^{2 k} + 7) 3^{2 k + 2} + 7 - 3^{2 k} - 7 3^{2 k + 2} - 3^{2 k} 3^{2 k} . 3^{2} - 3^{2 k} 3^{2 k} (9 - 1) 8. 3^{2 k} (habis dibagi 8)$

3. Untuk $n = k + 1$ akan dibuktikan:

$f ((k + 1) + 1) - f (k + 1) = = = = = = 3^{2 (k + 1 + 1)} + 7 - (3^{2 (k + 1)} + 7) 3^{2 k + 4} + 7 - 3^{2 k + 2} - 7 3^{2 k + 4} - 3^{2 k + 2} 3^{2 k + 2} . 3^{2} - 3^{2 k + 2} 3^{2 k + 2} (9 - 1) habis dibagi 8 8. 3^{2 k + 2}$

Dengan demikian, pernyataan $f (n + 1) - f (n)$ dengan $f (n) = 3^{2 n} + 7$ habis dibagi $8$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Buktikan bahwa 5 merupakan faktor dari ekspresi n ( n 4 − 1 ) untuk semua bilangan asli n ≥ 2 .

177

0.0

Jawaban terverifikasi

Untuk setiap bilangan asli n , diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut. 3 2 n + 1 habis dibagi 4 3 2 n − 1 habis dibagi 4 Dengan menggunakan induksi matematika, pernyataan yang b...

0.0

Jawaban terverifikasi

Prove that 7 n − 1 is divisible by 6 .

375

0.0

Jawaban terverifikasi

Prove that 2 3 n − 1 is divisible by 7 if n is any positive integers.

0.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan bahwa 4 merupakan faktor dariekspresi 3 + 5 n untuk semua bilangan asli n .

169

0.0