Himpunan penyelesaian dari 2 sin 2 4 x − 1 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2 π adalah...

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah A. Persamaan Trigonometri Dasar Penyelesaian persamaan trigonometri dasar bentuk sin x = a dilakukan dengan cara: mengubah bentuk sin x = a menjadi sin x = sin a . Ingat persamaan trigonometri dasar berikut: Jika sin x = sin α , nilai x = α + k ⋅ 2 π atau x = ( π − α ) + k ⋅ 2 π . Diketahui 2 sin 2 4 x − 1 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2 π , misal sin 4 x = p , maka: 2 sin 2 4 x − 1 2 p 2 − 1 2 p 2 p 2 p p ​ = = = = = = = = = ​ 0 0 1 2 1 ​ ± 2 1 ​ ​ ± 2 ​ 1 ​ ​ ± 2 ​ 1 ​ × 2 ​ 2 ​ ​ ± 2 1 ​ 2 ​ 2 1 ​ 2 ​ atau p = − 2 1 ​ 2 ​ ​ Untuk p = 2 1 ​ 2 ​ , maka: sin 4 x sin 4 x sin 4 x 4 x x ​ = = = = = ​ 2 1 ​ 2 ​ sin 4 5 ∘ sin 4 1 ​ π 4 1 ​ π + k ⋅ 2 π 16 1 ​ π + k ⋅ 2 1 ​ π ​ atau sin 4 x sin 4 x sin 4 x 4 x 4 x x ​ = = = = = = ​ 2 1 ​ 2 ​ sin 4 5 ∘ sin 4 1 ​ π ( π − 4 1 ​ π ) + k ⋅ 2 π 4 3 ​ π + k ⋅ 2 π 16 3 ​ π + k ⋅ 2 1 ​ π ​ Diperoleh k k k k k k k k ​ = = = = = = = = ​ 0 → x = 16 1 ​ π + 0 ⋅ 2 1 ​ π = 16 1 ​ π ( M ) atau 0 → x = 16 3 ​ π + 0 ⋅ 2 1 ​ π = 16 3 ​ π ( M ) 1 → x = 16 1 ​ π + 1 ⋅ 2 1 ​ π = 16 9 ​ π ( M ) atau 1 → x = 16 3 ​ π + 1 ⋅ 2 1 ​ π = 16 11 ​ π ( M ) 2 → x = 16 1 ​ π + 2 ⋅ 2 1 ​ π = 16 17 ​ π ( M ) atau 2 → x = 16 3 ​ π + 2 ⋅ 2 1 ​ π = 16 19 ​ π ( M ) 3 → x = 16 1 ​ π + 3 ⋅ 2 1 ​ π = 16 25 ​ π ( M ) atau 3 → x = 16 3 ​ π + 3 ⋅ 2 1 ​ π = 16 27 ​ π ( M ) ​ Untuk p = − 2 1 ​ 2 ​ , maka: sin 4 x sin 4 x sin 4 x 4 x x ​ = = = = = ​ − 2 1 ​ 2 ​ sin 22 5 ∘ sin 4 5 ​ π 4 5 ​ π + k ⋅ 2 π 16 5 ​ π + k ⋅ 2 1 ​ π ​ atau sin 4 x sin 4 x sin 4 x 4 x 4 x x ​ = = = = = = ​ − 2 1 ​ 2 ​ sin 22 5 ∘ sin 4 5 ​ π ( π − 4 5 ​ π ) + k ⋅ 2 π − 4 1 ​ π + k ⋅ 2 π − 16 1 ​ π + k ⋅ 2 1 ​ π ​ Diperoleh k = 0 → x = 16 5 ​ π + 0 ⋅ 2 1 ​ π = 16 5 ​ π ( M ) atau k = 0 → x = − 16 1 ​ π + 0 ⋅ 2 1 ​ π = − 16 1 ​ π ( TM ) k = 1 → x = 16 5 ​ π + 1 ⋅ 2 1 ​ π = 16 13 ​ π ( M ) atau k = 1 → x = − 16 1 ​ π + 1 ⋅ 2 1 ​ π = 16 7 ​ π ( M ) k = 2 → x = 16 5 ​ π + 2 ⋅ 2 1 ​ π = 16 21 ​ π ( M ) atau k = 2 → x = − 16 1 ​ π + 2 ⋅ 2 1 ​ π = 16 31 ​ π ( M ) k = 3 → x = 16 5 ​ π + 3 ⋅ 2 1 ​ π = 16 29 ​ π ( M ) atau k = 3 → x = − 16 1 ​ π + 3 ⋅ 2 1 ​ π = 16 23 ​ π ( M ) Keterangan: M (Memenuhi), TM (Tidak Memenuhi) Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah { 16 1 ​ π , 16 3 ​ π , 16 5 ​ π , 16 7 ​ π , 16 9 ​ π , 16 11 ​ π , 16 13 ​ π , 16 15 ​ π , } { 16 17 ​ π , 16 19 ​ π , 16 21 ​ π , 16 23 ​ π , 16 25 ​ π , 16 27 ​ π , 16 29 ​ π , 16 31 ​ π } . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.