Himpunan penyelesaian dari sin ( 7 x − 3 1 ​ π ) = 2 1 ​ untuk 0 ≤ x ≤ 2 π adalah...

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah E. Persamaan Trigonometri Dasar Penyelesaian persamaan trigonometri dasar bentuk sin x = a dilakukan dengan cara: mengubah bentuk sin x = a menjadi sin x = sin a . Ingat persamaan trigonometri dasar berikut: Jika sin x = sin α , nilai x = α + k ⋅ 2 π atau x = ( π − α ) + k ⋅ 2 π . sin ( 7 x − 3 1 ​ π ) = 2 1 ​ untuk 0 ≤ x ≤ 2 π , maka diperoleh: sin ( 7 x − 3 1 ​ π ) sin ( 7 x − 3 1 ​ π ) sin ( 7 x − 3 1 ​ π ) 7 x − 3 1 ​ π 7 x 7 x 7 x 7 x x ​ = = = = = = = = = ​ 2 1 ​ sin 3 0 ∘ sin 6 1 ​ π 6 1 ​ π + k ⋅ 2 π 3 1 ​ π + 6 1 ​ π + k ⋅ 2 π 6 2 π + π ​ + k ⋅ 2 π 6 3 ​ π + k ⋅ 2 π 2 1 ​ π + k ⋅ 2 π 14 1 ​ π + k ⋅ 7 2 ​ π ​ atau sin ( 7 x − 3 1 ​ π ) sin ( 7 x − 3 1 ​ π ) sin ( 7 x − 3 1 ​ π ) 7 x − 3 1 ​ π 7 x − 3 1 ​ π 7 x 7 x 7 x x ​ = = = = = = = = = ​ 2 1 ​ sin 3 0 ∘ sin 6 1 ​ π ( π − 6 1 ​ π ) + k ⋅ 2 π 6 5 ​ π + k ⋅ 2 π 3 1 ​ π + 6 5 ​ π + k ⋅ 2 π 6 2 π + 5 π ​ + k ⋅ 2 π 6 7 ​ π + k ⋅ 2 π 42 7 ​ π + k ⋅ 2 π ​ Untuk k = 0 , maka: x ​ = = ​ 14 1 ​ π + 0 ⋅ 7 2 ​ π 14 1 ​ π ​ (Memenuhi) atau x ​ = = = ​ 42 7 ​ π + 0 ⋅ 7 2 ​ π 42 7 ​ π 6 1 ​ π ​ (Memenuhi) Untuk k = 1 , maka: x ​ = = = = ​ 14 1 ​ π + 1 ⋅ 7 2 ​ π 14 1 ​ π + 7 2 ​ π 14 π + 4 π ​ 14 5 ​ π ​ (Memenuhi) atau x ​ = = = = ​ 42 7 ​ π + 1 ⋅ 7 2 ​ π 42 7 ​ π + 7 2 ​ π 42 7 π + 12 π ​ 42 19 ​ π ​ (Memenuhi) Untuk k = 2 , maka: x ​ = = = = ​ 14 1 ​ π + 2 ⋅ 7 2 ​ π 14 1 ​ π + 7 4 ​ π 14 π + 8 π ​ 14 9 ​ π ​ (Memenuhi) atau x ​ = = = = ​ 42 7 ​ π + 2 ⋅ 7 2 ​ π 42 7 ​ π + 7 4 ​ π 42 7 π + 24 π ​ 42 31 ​ π ​ (Memenuhi) Untuk k = 3 , maka: x ​ = = = = ​ 14 1 ​ π + 3 ⋅ 7 2 ​ π 14 1 ​ π + 7 6 ​ π 14 π + 12 π ​ 14 13 ​ π ​ (Memenuhi) atau x ​ = = = = ​ 42 7 ​ π + 3 ⋅ 7 2 ​ π 42 7 ​ π + 7 6 ​ π 42 7 π + 36 π ​ 42 43 ​ π ​ (Memenuhi) Untuk k = 4 , maka: x ​ = = = = ​ 14 1 ​ π + 4 ⋅ 7 2 ​ π 14 1 ​ π + 7 8 ​ π 14 π + 16 π ​ 14 17 ​ π ​ (Memenuhi) atau x ​ = = = = ​ 42 7 ​ π + 4 ⋅ 7 2 ​ π 42 7 ​ π + 7 8 ​ π 42 7 π + 48 π ​ 42 55 ​ π ​ (Memenuhi) Untuk k = 5 , maka: x ​ = = = = = ​ 14 1 ​ π + 5 ⋅ 7 2 ​ π 14 1 ​ π + 7 10 ​ π 14 π + 20 π ​ 14 21 ​ π 2 3 ​ π ​ (Memenuhi) x ​ = = = = ​ 42 7 ​ π + 5 ⋅ 7 2 ​ π 42 7 ​ π + 7 10 ​ π 42 7 π + 60 π ​ 42 67 ​ π ​ (Memenuhi) Untuk k = 6 , maka: x ​ = = = = ​ 14 1 ​ π + 6 ⋅ 7 2 ​ π 14 1 ​ π + 7 12 ​ π 14 π + 24 π ​ 14 25 ​ π ​ (Memenuhi) atau x ​ = = = = ​ 42 7 ​ π + 6 ⋅ 7 2 ​ π 42 7 ​ π + 7 12 ​ π 42 7 π + 72 π ​ 42 79 ​ π ​ (Memenuhi) Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah { 14 1 ​ π , 6 1 ​ π , 14 5 ​ π , 42 19 ​ π , 14 9 ​ π , 42 31 ​ π , 14 13 ​ π , } { 42 43 ​ π , 14 17 ​ π , 42 55 ​ π , 2 3 ​ π , 42 67 ​ π , 14 25 ​ π , 42 79 ​ π } . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah E.