Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x 2 − 4 x + 7 ​ > 2 x + 5 adalah ....

Pembahasan

Dari pertidaksamaan dimisalkan dan . Untuk mencari penyelesaiannya, akan dibagi menjadi dua kasus, yaitu ketika dan ketika . Kondisi I. Perhatikan kondisi ketika ,yaitu sebagai berikut. Perhatikan garis bilangan berikut! Selanjutnya, perhatikan perhitungan berikut! Dari bentuk kuadrat tersebut, didapat nilai a = 1 , b = 8 ,dan c = 6 . Perhatikan bahwa bentuk kuadrat di ruas kiri tidak dapat difaktorkan secara langsung. Jika diperiksa, nilai diskriminan dari bentuk kuadrat tersebut adalah sebagai berikut. Karena , maka bentuk kuadrat tersebut memiliki akar-akar yang dapat dicari menggunakan rumus kuadratik, yaitu sebagai berikut. Didapat akar-akar x = − 4 − 10 ​ atau x = − 4 + 10 ​ . Perhatikan garis bilangan berikut! Karena tanda pertidaksamaannya adalah , maka daerah penyelesaiannya adalah daerah yang bertandanegatif, yaitu . Kemudian, ingat bahwa fungsi di dalam akar harus lebih dari atau sama dengan nol. Oleh karena itu, diperoleh syarat berikut. Perhatikan bentuk kuadrat pada ruas kiri. Dari bentuk kuadrat tersebut didapat nilai a = 1 , b = − 4 ,dan . Jika diperhatikan, bentuk kuadrat di ruas kiri tidak dapat difaktorkan secara langsung.Jika diperiksa, nilai diskriminan dari bentuk kuadrat tersebut adalah sebagai berikut Karena dan , maka bentuk kuadrat tersebut definit positif. Artinya, bentuk kuadrat tersebut akanselalu bernilai positif untuk setiap bilangan real. Oleh karena itu, x 2 − 4 x + 7 ≥ 0 selalu terpenuhi untuk setiap x ∈ R . Selanjutnya, tentukan irisan hasil penyelesaian dan syarat-syaratnya,yaitusebagai berikut Dengan demikian, penyelesaian untuk kasus I adalah . Kasus II. Perhatikan kondisi ketika , yaitu sebagai berikut. Perhatikan garis bilangan berikut! Perhatikan pula bahwa akar kuadrat dari setiap bilangan real pastilah ≥ 0 .Akibatnya, diperoleh perhitungan berikut. Sebelumnya telah didapat bahwa daerah penyelesaian dari bentuk kuadrat di atas adalah seluruh x ∈ R . Selanjutnya, tentukan irisan hasil penyelesaian dan syarat-syaratnya,yaitusebagai berikut Dengan demikian, penyelesaianuntuk kasus IIadalah . Penyelesaian akhirdiperoleh dengan cara menggabungkan penyelesaian ketika dan . Oleh karena itu, didapat garis bilangan berikut. Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan adalah { x ∣ x < − 4 + 10 ​ , x ∈ R } . Jadi, jawaban yang tepat adalah A.