Pertanyaan

Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2 x − 2 cos x = − 1 untuk 0 ≤ x ≤ 2 π adalah...

Himpunan penyelesaian dari persamaan $cos 2 x - 2 cos x = - 1$ untuk $0 \leq x \leq 2 π$ adalah... $\;\;$

${0, \frac{1}{2} π, \frac{3}{2} π, 2 π}$ $\;\;$
${0, \frac{1}{2} π, \frac{2}{3} π, 2 π}$ $\;\;$
${0, \frac{1}{2} π, π, \frac{3}{2} π}$ $\;\;$
${0, \frac{1}{2} π, \frac{2}{3} π}$ $\;\;$
${0, \frac{1}{2} π, π}$ $\;\;$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

A. Acfreelance

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah A.

jawaban yang benar adalah A. $\;\;$

Pembahasan

Ingat, Rumus Sudut Rangkap (Cosinus) cos 2 A = 2 cos 2 A − 1 Akar-Akar Persamaan Kuadrat a x 2 + b x + c = 0 ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) = 0 Persamaan Trigonometri (Sinus) cos x = cos a x 1 = a + k ⋅ 36 0 ∘ x 2 = − a + k ⋅ 36 0 ∘ Keterangan: k merupakan sembarang bilangan bulat Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh sebagai berikut cos 2 x − 2 cos x = − 1 2 cos 2 x − 1 − 2 cos x + 1 = 0 2 cos 2 x − 2 cos x = 0 Misal cos x : p 2 p 2 − 2 p = 0 2 p ( p − 1 ) = 0 2 p = 0 atau p − 1 = 0 p = 0 atau p = 1 Sehingga: cos x = 0 atau cos x = 1 ► Menentukan nilai x yang memenuhi penyelesaian dari persamaan trigonomteribentuk cos x = cos p ∗ cos x = 0 cos x = cos 2 π x = 2 π + 0 ⋅ 2 π x = 2 π cos x = cos 2 π x = − 2 π + 1 ⋅ 2 π x = − 2 π + 2 π x = 2 3 π ∗ cos x = 1 cos x = cos 0 x = 0 + 0 ⋅ 2 π x = 0 cos x = cos 0 x = 0 + 1 ⋅ 2 π x = 0 + 2 π x = 2 π Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2 x − 2 cos x = − 1 untuk 0 ≤ x ≤ 2 π adalah { 0 , 2 1 π , 2 3 π , 2 π } Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A.

Ingat,

Rumus Sudut Rangkap (Cosinus)

$cos 2 A = 2 cos^{2} A - 1$

Akar-Akar Persamaan Kuadrat

$a x^{2} + b x + c = 0 (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$

Persamaan Trigonometri (Sinus)

$cos x = cos a x_{1} = a + k \cdot 36 0^{\circ} x_{2} = - a + k \cdot 36 0^{\circ}$

Keterangan: $k$ merupakan sembarang bilangan bulat

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh sebagai berikut

$cos 2 x - 2 cos x = - 1 2 cos^{2} x - 1 - 2 cos x + 1 = 0 2 cos^{2} x - 2 cos x = 0$

Misal $cos x : p$

$2 p^{2} - 2 p = 0 2 p (p - 1) = 0 2 p = 0 atau p - 1 = 0 p = 0 atau p = 1$

Sehingga:

$cos x = 0$ atau $cos x = 1$

► Menentukan nilai $x$ yang memenuhi penyelesaian dari persamaan trigonomteri bentuk $cos x = cos p$

$* cos x = 0 cos x = cos \frac{π}{2} x = \frac{π}{2} + 0 \cdot 2 π x = \frac{π}{2} cos x = cos \frac{π}{2} x = - \frac{π}{2} + 1 \cdot 2 π x = - \frac{π}{2} + 2 π x = \frac{3}{2} π * cos x = 1 cos x = cos 0 x = 0 + 0 \cdot 2 π x = 0 cos x = cos 0 x = 0 + 1 \cdot 2 π x = 0 + 2 π x = 2 π$

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari persamaan $cos 2 x - 2 cos x = - 1$ untuk $0 \leq x \leq 2 π$ adalah ${0, \frac{1}{2} π, \frac{3}{2} π, 2 π}$