Pertanyaan

9. Tentukan nilai x untuk 0 ∘ ≤ x ≤ 18 0 ∘ dari setiap persamaan berikut. c. cos 2 x − 3 sin x + 5 = 0

9. Tentukan nilai $x$ untuk $0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}$ dari setiap persamaan berikut.

c. $cos 2 x - 3 sin x + 5 = 0$ $\;$

I. Ridha

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Surabaya

Jawaban terverifikasi

Jawaban

diperolehnilai x untuk 0 ∘ ≤ x ≤ 18 0 ∘ dari − cos 2 x − 3 sin x + 2 = 0 adalah 3 0 ∘ , 9 0 ∘ , dan 15 0 ∘ .

diperoleh nilai

x

untuk

0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}

dari

- cos 2 x - 3 sin x + 2 = 0

adalah

3 0^{\circ}

9 0^{\circ}

, dan

15 0^{\circ}

. $\;$

Pembahasan

Ingat! rumus cosinusuntuk sudut ganda cos 2 A = 1 − 2 ⋅ sin 2 A pada rentang 0 ∘ ≤ x ≤ 18 0 ∘ , sin 3 0 ∘ = sin 15 0 ∘ = 2 1 dan sin 9 0 ∘ = 1 Oleh karena itu, dapat diperoleh: cos 2 x − 3 sin x + 5 1 − 2 ⋅ sin 2 x − 3 sin x + 5 − 2 ⋅ sin 2 x − 3 sin x + 6 = = = 0 0 0 Dari persamaan di atas, diperoleh nilai diskriminan D = ( − 3 ) 2 − 4 ( − 2 ) ( 6 ) = 57 yang bukan merupakan merupakan kuadrat sempurna, sehinggamenyelesaikan soal cos 2 x − 3 sin x + 5 = 0 akan sangat rumit. Ralat! Dengan demikian, maka soal diralat menjadi: − cos 2 x − 3 sin x + 2 = 0 agar diperoleh jawaban. Dengan menyelesaikan persamaan terlebih dahulu, diperoleh: − cos 2 x − 3 ⋅ sin x + 2 = 0 − ( 1 − 2 ⋅ sin 2 x ) − 3 ⋅ sin x + 2 = 0 − 1 + 2 ⋅ sin 2 x − 3 ⋅ sin x + 2 = 0 2 ⋅ sin 2 x − 3 ⋅ sin x + 2 − 1 = 0 2 ⋅ sin 2 x − 3 ⋅ sin x + 1 = 0 ( 2 ⋅ sin x − 1 ) ( sin x − 1 ) = 0 2 ⋅ sin x − 1 = 0 2 ⋅ sin x = 0 + 1 2 ⋅ sin x = 1 sin x = 2 1 atau sin x − 1 = 0 sin x = 1 Oleh karena 0 ∘ ≤ x ≤ 18 0 ∘ , maka saat sin x = 2 1 , diperoleh: sin x = 2 1 sin x = sin 3 0 ∘ x = 3 0 ∘ sin x = sin 15 0 ∘ x = 15 0 ∘ dan sin x = 2 1 dan saat sin x = 1 ,diperoleh: sin x sin x x = = = 1 sin 9 0 ∘ 9 0 ∘ Dengan demikian, diperolehnilai x untuk 0 ∘ ≤ x ≤ 18 0 ∘ dari − cos 2 x − 3 sin x + 2 = 0 adalah 3 0 ∘ , 9 0 ∘ , dan 15 0 ∘ .

Ingat!

rumus cosinus untuk sudut ganda

$cos 2 A = 1 - 2 \cdot sin^{2} A$

pada rentang $0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}$ , $sin 3 0^{\circ} = sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ dan $sin 9 0^{\circ} = 1$

Oleh karena itu, dapat diperoleh:

$cos 2 x - 3 sin x + 5 1 - 2 \cdot sin^{2} x - 3 sin x + 5 - 2 \cdot sin^{2} x - 3 sin x + 6 = = = 000$

Dari persamaan di atas, diperoleh nilai diskriminan $D = (- 3)^{2} - 4 (- 2) (6) = 57$ yang bukan merupakan merupakan kuadrat sempurna, sehingga menyelesaikan soal $cos 2 x - 3 sin x + 5 = 0$ akan sangat rumit.

Ralat!

Dengan demikian, maka soal diralat menjadi:

$- cos 2 x - 3 sin x + 2 = 0$

agar diperoleh jawaban.

Dengan menyelesaikan persamaan terlebih dahulu, diperoleh:

$- cos 2 x - 3 \cdot sin x + 2 = 0 - (1 - 2 \cdot sin^{2} x) - 3 \cdot sin x + 2 = 0 - 1 + 2 \cdot sin^{2} x - 3 \cdot sin x + 2 = 0 2 \cdot sin^{2} x - 3 \cdot sin x + 2 - 1 = 0 2 \cdot sin^{2} x - 3 \cdot sin x + 1 = 0 (2 \cdot sin x - 1) (sin x - 1) = 0 2 \cdot sin x - 1 = 0 2 \cdot sin x = 0 + 1 2 \cdot sin x = 1 sin x = \frac{1}{2} atau sin x - 1 = 0 sin x = 1$

Oleh karena $0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}$ , maka saat $sin x = \frac{1}{2}$ , diperoleh:

$sin x = \frac{1}{2} sin x = sin 3 0^{\circ} x = 3 0^{\circ} sin x = sin 15 0^{\circ} x = 15 0^{\circ} dan sin x = \frac{1}{2}$

dan saat $sin x = 1$ , diperoleh:

$sin x sin x x = = = 1 sin 9 0^{\circ} 9 0^{\circ}$

Dengan demikian, diperoleh nilai $x$ untuk $0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}$ dari $- cos 2 x - 3 sin x + 2 = 0$ adalah $3 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ , dan $15 0^{\circ}$ . $\;$