Himpunan penyelesaian dari − x + ∣ x 2 − x ∣ < 5 adalah ....

Pembahasan

Ingat bahwa saatmenentukan penyelesaian dari pertidaksamaan ∣ f ( x ) ∣ < g ( x ) , penyelesaiannya juga harus memperhatikan bahwa g ( x ) > 0 . Kemudian, dapat diperhatikan pertidaksamaan berikut ini. − x + ∣ x 2 − x ∣ ∣ x 2 − x ∣ ​ < < ​ 5 x + 5 ​ Oleh karena itu, dapat dimisalkan f ( x ) = x 2 − x dan g ( x ) = x + 5 . Ingat bahwa g ( x ) > 0 sehingga didapatkan perhitungan berikut ini. g ( x ) x + 5 x ​ > > > ​ 0 0 − 5 ​ Kemudian, ingat bahwa jika dengan dan , maka . Diketahui bahwa dan , maka sehingga didapat perhitungan berikut. ( x 2 − x ) 2 ( x 2 − x ) 2 − ( x + 5 ) 2 (( x 2 − x ) + ( x + 5 )) (( x 2 − x ) − ( x + 5 )) ( x 2 + 5 ) ( x 2 − 2 x − 5 ) ​ < < < < ​ ( x + 5 ) 2 0 0 0 ​ Perhatikan bahwa x 2 + 5 merupakan bentuk kuadrat yang definit positif sehingga berapa pun nilai x , hasilnya akan selalu positif. Akibatnya, bentuk ( x 2 + 5 ) ( x 2 − 2 x − 5 ) < 0 dapat disederhanakan menjadi x 2 − 2 x − 5 < 0 . Selanjutnya, pembuat nol dari bentuk kuadrat x 2 –2 x – 5 dapat ditentukan dengan melengkapikuadrat sempurna sebagai berikut. x 2 − 2 x − 5 x 2 − 2 x x 2 − 2 x + 1 x 2 − 2 x + 1 ( x − 1 ) 2 x − 1 x ​ = = = = = = = ​ 0 5 5 + 1 6 6 ± 6 ​ 1 ± 6 ​ ​ Didapat pembuat nolnya yaitu x = 1 − 6 ​ dan x = 1 + 6 ​ . Kemudian, buat garis bilangan dari nilai x yang telah didapat untuk melakukan uji titik sehingga diperoleh garis bilangan berikut. Karena tanda pertidaksamaannya adalah <, pilih daerah yang bernilai negatif, yaitu 1 − 6 ​ < x < 1 + 6 ​ . Penyelesaiannyaadalah irisan dari penyelesaian yang didapat sebelumnya dan syarat g ( x ) > 0 .Perhatikan irisan daerah penyelesaian pada garis bilangan berikut ini! Didapat penyelesaiannya adalah 1 − 6 ​ < x < 1 + 6 ​ . Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah { x ∣1 − 6 ​ < x < 1 + 6 ​ , x ∈ R } . Jadi, jawaban yang tepat adalah A.