Himpunan penyelesaian dari ∣ x + 2∣ + ∣ x 2 − 4∣ > 10 adalah ....

Pembahasan

Berdasarkan definisi nilai mutlak, maka dan Perhatikan garis bilangan berikut Sehingga didapat bahwa Sehingga penyelesaian dari pertidaksamaan dapat dipecah sebagai berikut : Kondisi pertama Perhatikan kondisi yang pertama, yaitu dan x ≤ -2 . Didapat bahwa : Perhatikan bahwa bentuk kuadrat di ruas kiri tidak dapat langsung difaktorkan Bentuk kuadrat tersebut memiliki nilai a = 1 , b = -1 , dan c = -16 . Selanjutnya pembuat nol dari bentuk kuadrat dapat dicari dengan rumus kuadratik sebagai berikut Maka didapat pembuat nol yaitu atau , Sehingga dapat dibuat garis bilangan seperti berikut Karena tanda pertidaksamaannya adalah > , maka pilih daerah yang bernilai positif, yaitu atau . Perhatikan bahwa kondisi ini, yaitu dan x ≤ -2 dihubungkan oleh kata hubung dan. Sehingga penyelesaian dari kondisi ini merupakan irisan dari penyelesaian kedua pertidaksamaan tersebut. Perhatikan garis bilangan berikut Sehingga didapat penyelesaian untuk kondisi ini adalah . Kondisi kedua Selanjutnya kondisi yang kedua, yaitu dan x = -2 . Perhatikan bahwa untuk x = -2 , maka : Karena 0 < 10, maka x = 2 tidak memenuhi . Sehingga tidak ada penyelesaian untuk kondisi ini. Kondisi ketiga Kemudian perhatikan kondisi yang ketiga, yaitu dan - 2 < x < 2 . Didapat bahwa : Jika diperhatikan, bentuk kuadrat merupakan bentuk kuadrat yang definit negatif karena memiliki koefisien x 2 yang bernilai negatif dan nilai diskiriminannya akan bernilai negatif. Sehingga selalu terpenuhi untuk setiap x ∈ R . Akibatnya pertidaksamaan - x 2 + x - 4>0 tidak memiliki penyelesaian. Perhatikan bahwa kondisi ini, yaitu dan - 2 < x < 2 dihubungkan oleh kata hubung dan. Sehingga penyelesaian dari kondisi ini merupakan irisan dari kedua pertidaksamaan tersebut. Namun, penyelesaian dari merupakan himpunan kosong. Sehingga jika diiris dengan - 2 < x < 2 juga akan menghasilkan himpunan kosong. Sehingga tidak ada penyelesaian untuk kondisi ini. Kondisi keempat Selanjutnya perhatikan kondisi yang pertama, yaitu dan x ≥ 2 . Didapat bahwa : Didapat pembuat nol yaitu x = -4 atau x = 3 . Sehingga dapat dibuat garis bilangan seperti berikut Karena tanda pertidaksamaannya adalah > , maka pilih daerah yang bernilai positif, yaitu x < -4 atau x > 3 . Perhatikan bahwa kondisi ini, yaitu dan x ≥ 2 dihubungkan oleh kata hubung dan. Sehingga penyelesaian dari kondisi ini merupakan irisan dari penyelesaian kedua pertidaksamaan tersebut. Perhatikan garis bilangan berikut Sehingga didapat penyelesaian untuk kondisi ini adalah x > 3. Penyelesaian akhir Dari kondisi pertama, didapat penyelesaian . Dari kondisi kedua, tidak didapat penyelesaian. Dari kondisi ketiga, tidak didapat penyelesaian. Dari kondisi keempat, didapat penyelesaian x > 3 . Penyelesaian dari pertidaksamaan ini adalah gabungan penyelesaian dari kondisi-kondisi di atas. Sehingga didapatkan gabungannya yaitu atau x > 3 . Maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan adalah