Himpunan penyelesaian dari ∣ x − 1∣ + ∣ x 2 − 1∣ > 6 adalah ...

Pembahasan

Berdasarkan definisi nilai mutlak, maka dan Perhatikan garis bilangan berikut Sehingga didapat bahwa : Sehingga penyelesaian dari pertidaksamaan dapat dipecah sebagai berikut Kondisi pertama Perhatikan kondisi yang pertama, yaitu dan x ≤ -1 . Didapat bahwa : Didapat pembuat nol yaitu x = -2 atau x = 3 . Sehingga dapat dibuat garis bilangan seperti berikut Karena tanda pertidaksamaannya adalah > , maka pilih daerah yang bernilai positif, yaitu x < -2 atau x > 3 . Perhatikan bahwa kondisi ini, yaitu dan x ≤ -1 dihubungkan oleh kata hubung dan. Sehingga penyelesaian dari kondisi ini merupakan irisan dari penyelesaian kedua pertidaksamaan tersebut. Perhatikan garis bilangan berikut Sehingga didapat penyelesaian untuk kondisi ini adalah x < -2 . Kondisi kedua Selanjutnya kondisi yang kedua, yaitu dan - 1 < x < 1 . Didapat bahwa : Jika diperhatikan, bentuk kuadrat merupakan bentuk kuadrat yang definit negatif karena memiliki koefisien yang bernilai negatif dan nilai diskiriminannya akan bernilai negatif. Sehingga - selalu terpenuhi untuk setiap x ∈R . Akibatnya pertidaksamaan tidak memiliki penyelesaian. Perhatikan bahwa kondisi ini, yaitu dan - 1 < x < 1 dihubungkan oleh kata hubung dan. Sehingga penyelesaian dari kondisi ini merupakan irisan dari kedua pertidaksamaan tersebut. Namun, penyelesaian dari merupakan himpunan kosong. Sehingga jika diiris dengan - 1 < x < 1 juga akan menghasilkan himpunan kosong. Sehingga tidak ada penyelesaian untuk kondisi ini. Kondisi ketiga Kemudian perhatikan kondisi yang ketiga, yaitu dan x ≥ 1 . Didapat bahwa : Perhatikan bahwa bentuk kuadrat di ruas kiri tidak dapat langsung difaktorkan Bentuk kuadrat tersebut memiliki nilai a = 1 , b = 1 , dan c = -8 . Selanjutnya pembuat nol dari bentuk kuadrat x 2 + x - 8 dapat dicari dengan rumus kuadratik sebagai berikut Maka didapat pembuat nol yaitu atau . Sehingga dapat dibuat garis bilangan seperti berikut : Karena tanda pertidaksamaannya adalah > , maka pilih daerah yang bernilai positif, yaitu atau . Perhatikan bahwa kondisi ini, yaitu dan x ≥ 1 dihubungkan oleh kata hubung dan. Sehingga penyelesaian dari kondisi ini merupakan irisan dari penyelesaian kedua pertidaksamaan tersebut. Perhatikan garis bilangan berikut Sehingga didapat penyelesaian untuk kondisi ini adalah . Penyelesaian akhir Dari kondisi pertama, didapat penyelesaian x < -2 . Dari kondisi kedua, tidak didapat penyelesaian. Dari kondisi ketiga, didapat penyelesaian . Penyelesaian dari pertidaksamaan ini adalah gabungan penyelesaian dari kondisi-kondisi di atas. Sehingga didapatkan gabungannya yaitu x < -2 atau . Maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan adalah