Pertanyaan

Himpunan nilai x yang memenuhi persamaan cos 2 2 x − cos 2 x = sin 2 2 x dengan merupakan sudut tumpul adalah ....

Himpunan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $cos^{2} 2 x - cos 2 x = sin^{2} 2 x$ dengan merupakan sudut tumpul adalah ....

${12 0^{\circ}, 18 0^{\circ}}$
${12 0^{\circ}, 15 0^{\circ}}$

N. Syafriah

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah E.

Pembahasan

Ingat identitas berikut ini. Selanjutnya, perhatikan perhitungan berikut ini dengan menerapkan identitas di atas. Misalkan , maka didapat persamaan berikut. 2 cos 2 2 x − cos 2 x − 1 2 ( cos 2 x ) 2 − cos 2 x − 1 2 y 2 − y − 1 ( 2 y + 1 ) ( y − 1 ) y = − 2 1 atau y = = = = = 0 0 0 0 1 Substitusikan kembali nilai sehingga didapat hasil seperti berikut ini. atau Ingat bahwa dan . Oleh karena itu, didapat hasil berikut ini. atau Ingat pula bahwa persamaan terpenuhi oleh dan dengan . Karena adalah sudut tumpul, maka syaratnya adalah . Kasus 1: Nilai-nilai yang memenuhi adalah sebagai berikut. dan dengan . Kemungkinan 1: , . Jika , maka didapat . Karena tidak memenuhi syarat dan 6 0 ∘ < 9 0 ∘ , maka untuknilai yang semakin kecilpasti menghasilkan nilai x yang tidak memenuhi syarat juga. Jika , maka didapat perhitungan sebagai berikut. Karena tidak memenuhi syarat dan 24 0 ∘ > 18 0 ∘ , maka untuk nilai yang semakin besar pasti menghasilkan nilai x yang tidak memenuhi syarat juga. Kemungkinan 2: , . Jika , maka didapat . Karena tidak memenuhi syarat dan − 6 0 ∘ < 9 0 ∘ , maka untuknilai yang semakin kecilpasti menghasilkan nilai x yang tidak memenuhi syarat juga. Jika , maka didapat perhitungan sebagai berikut. Nilai memenuhi syarat. Jika , maka didapat perhitungan sebagai berikut. Karena tidak memenuhi syarat dan 30 0 ∘ > 18 0 ∘ , maka untuk nilai yang semakin besar pasti menghasilkan nilai x yang tidak memenuhi syarat juga. Kasus 2: Nilai-nilai yang memenuhi adalah sebagai berikut. dan dengan . Perhatikan bahwa bentuk dari kedua kemungkinan solusi adalah sama, yaitu x = k ⋅ 18 0 ∘ . Jika , maka didapat . Karena tidak memenuhi syarat dan 0 ∘ < 9 0 ∘ , maka untuknilai semakin kecilpasti menghasilkan nilai x yang tidak memenuhi syarat juga. Jika , maka didapat . Karena tidak memenuhi syarat dan berada di atas interval , maka untuk nilai semakin besar pasti menghasilkan nilai x yang tidak memenuhi syarat juga. Dengan demikian, himpunan nilai yang memenuhi adalah . Jadi, jawaban yang tepat adalah E.

Ingat identitas berikut ini.

Selanjutnya, perhatikan perhitungan berikut ini dengan menerapkan identitas di atas.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos squared 2 x minus cos 2 x end cell equals cell sin squared 2 x end cell row cell cos squared 2 x minus cos 2 x end cell equals cell 1 minus cos squared 2 x end cell row cell 2 cos squared 2 x minus cos 2 x minus 1 end cell equals 0 end table end style

Misalkan y equals cos 2 x , maka didapat persamaan berikut.

$2 cos^{2} 2 x - cos 2 x - 1 2 (cos 2 x)^{2} - cos 2 x - 1 2 y^{2} - y - 1 (2 y + 1) (y - 1) y = - \frac{1}{2} atau y = = = = = 00001$

Substitusikan kembali nilai y equals cos 2 x sehingga didapat hasil seperti berikut ini.

atau

Ingat bahwa dan . Oleh karena itu, didapat hasil berikut ini.

atau

Ingat pula bahwa persamaan terpenuhi oleh

dan

dengan .

Karena adalah sudut tumpul, maka syaratnya adalah .

Kasus 1:

Nilai-nilai yang memenuhi adalah sebagai berikut.

dan

dengan .

Kemungkinan 1: , .

Jika , maka didapat table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell 60 degree plus 0 times 180 degree equals 60 degree end cell end table .

Karena 60 degree tidak memenuhi syarat dan $6 0^{\circ} < 9 0^{\circ}$ , maka untuk nilai yang semakin kecil pasti menghasilkan nilai $x$ yang tidak memenuhi syarat juga.

Jika , maka didapat perhitungan sebagai berikut.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell 60 degree plus 1 times 180 degree end cell row blank equals cell 60 degree plus 180 degree end cell row blank equals cell 240 degree end cell end table end style

Karena 240 degree tidak memenuhi syarat dan $24 0^{\circ} > 18 0^{\circ}$ , maka untuk nilai yang semakin besar pasti menghasilkan nilai $x$ yang tidak memenuhi syarat juga.

Kemungkinan 2: , .

Jika , maka didapat table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell negative 60 degree plus 0 times 180 degree equals negative 60 degree end cell end table .

Karena negative 60 degree tidak memenuhi syarat dan $- 6 0^{\circ} < 9 0^{\circ}$ , maka untuk nilai yang semakin kecil pasti menghasilkan nilai $x$ yang tidak memenuhi syarat juga.

Jika , maka didapat perhitungan sebagai berikut.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell negative 60 degree plus 1 times 180 degree end cell row blank equals cell negative 60 degree plus 180 degree end cell row blank equals cell 120 degree end cell end table end style

Nilai x equals 120 degree memenuhi syarat.

Jika , maka didapat perhitungan sebagai berikut.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell negative 60 degree plus 2 times 180 degree end cell row blank equals cell negative 60 degree plus 360 degree end cell row blank equals cell 300 degree end cell end table end style

Karena 300 degree tidak memenuhi syarat dan $30 0^{\circ} > 18 0^{\circ}$ , maka untuk nilai yang semakin besar pasti menghasilkan nilai $x$ yang tidak memenuhi syarat juga.

Kasus 2:

Nilai-nilai yang memenuhi adalah sebagai berikut.

dan

dengan .

Perhatikan bahwa bentuk dari kedua kemungkinan solusi adalah sama, yaitu $x = k \cdot 18 0^{\circ}$ .

Jika , maka didapat table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell 0 times 180 degree equals 0 degree end cell end table .
Karena tidak memenuhi syarat dan $0^{\circ} < 9 0^{\circ}$ , maka untuk nilai semakin kecil pasti menghasilkan nilai $x$ yang tidak memenuhi syarat juga.

Jika , maka didapat table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell 1 times 180 degree equals 180 degree end cell end table .
Karena tidak memenuhi syarat dan berada di atas interval , maka untuk nilai semakin besar pasti menghasilkan nilai $x$ yang tidak memenuhi syarat juga.

Dengan demikian, himpunan nilai yang memenuhi adalah .

Jadi, jawaban yang tepat adalah E.