Pertanyaan

Himpunan nilai x yang memenuhi 2 sin 2 2 x − sin 2 x − 1 = 0 dengan merupakan sudut lancip adalah ....

Himpunan nilai $x$ yang memenuhi $2 sin^{2} 2 x - sin 2 x - 1 = 0$ dengan merupakan sudut lancip adalah ....

Y. Pangestu

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah B.

Pembahasan

Cara I : Misalkan . Dari didapat perhitungan sebagai berikut. Dari , didapat perhitungan sebagai berikut. Karena sinus bernilai negatif di kuadran III atau IV, maka penyelesaian umumnya adalah dan atau dan dengan adalah bilangan bulat. Pada soal diberikan syarat bahwa merupakan sudut lancip sehingga . Dari penyelesaian umum yang pertama, yaitu , didapat perhitungan sebagai berikut. Untuk diperoleh . Dapat diperhatikan bahwa tidakmemenuhi syarat yang diberikan sehingga nilai tidak mungkin lebih besar lagi. Untuk diperoleh . Dapat diperhatikan bahwa tidakmemenuhi syarat yang diberikan sehingga nilai tidak mungkin lebih kecil lagi. Selanjutnya, dari penyelesaian umum yang kedua, yaitu , didapat perhitungan sebagai berikut. Untuk diperoleh . Dapat diperhatikan bahwa tidakmemenuhi syarat yang diberikan sehingga nilai tidak mungkin lebih besar lagi. Untuk diperoleh . Dapat diperhatikan bahwa tidakmemenuhi syarat yang diberikan sehingga nilai tidak mungkin lebih kecil lagi. Kemudian, dari , didapat perhitungan sebagai berikut. Karena sinus bernilai positif di kuadran I atau II, maka penyelesaian umumnya adalah dan atau dapat dituliskan sebagai dengan adalah bilangan bulat. Pada soal diberikan syarat bahwa merupakan sudut lancip sehingga . Dari penyelesaian umumnya, yaitu , didapat perhitungan sebagai berikut. Untuk diperoleh . Dapat diperhatikan bahwa memenuhi syarat yang diberikan. Untuk diperoleh . Dapat diperhatikan bahwa tidakmemenuhi syarat yang diberikan sehingga nilai tidak mungkin lebih kecil lagi. Untuk diperoleh . Dapat diperhatikan bahwa tidakmemenuhi syarat yang diberikan sehingga nilai tidak mungkin lebih besar lagi. Oleh karena itu,himpunan nilai yang memenuhi dengan merupakan sudut lancipadalah . Cara II : Misalkan maka atau atau Ingat bahwa dan sehinggadiperoleh atau Persamaan terpenuhi oleh dan dengan . Karena adalah sudut lancip maka . Kasus 1: Akan diperoleh nilai-nilai yang memenuhi yaitu dan dengan . Kemungkinan 1: , . Jika , maka N ilai tersebuttidak memenuhi syarat sehingga untuknilai makin kecilpasti tidak memenuhi syarat juga. Jika , maka Nilai tersebuttidak memenuhi syarat sehingga untuknilai makin besarpasti tidak memenuhi syarat juga. Kemungkinan 2: , . Jika , maka Nilai tersebuttidak memenuhi syarat sehingga untuknilai makin kecilpasti tidak memenuhi syarat juga. Jika , maka Nilai tersebut tidak memenuhi syarat sehingga untuk nilai makin besarpasti tidak memenuhi syarat juga. Sehinggadari tidak memiliki penyelesaian dengan sudut lancip. Kasus 2: Akan diperolehnilai-nilai yang memenuhi yaitu dan dengan . Perhatikan bahwa bentuk yang diperoleh dari dua kemungkinan solusi adalah sama,yaitu , . Jika , maka Nilai tersebuttidak memenuhi syarat sehingga untuknilai makin kecilpasti tidak memenuhi syarat juga. Jika , maka Nilai tersebutmemenuhi syarat . Jika , maka Nilai tersebuttidak memenuhi syarat sehingga untuknilai makin besarpasti tidak memenuhi syarat juga. Dengan demikian, diperoleh himpunan nilai yang memenuhi yaitu . Jadi, jawaban yang tepat adalah B.

Cara I :

Misalkan . Dari didapat perhitungan sebagai berikut.

Dari , didapat perhitungan sebagai berikut.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin p end cell equals cell negative 1 half end cell row cell sin p end cell equals cell negative sin 30 degree end cell end table end style

Karena sinus bernilai negatif di kuadran III atau IV, maka penyelesaian umumnya adalah dan atau dan dengan adalah bilangan bulat.

Pada soal diberikan syarat bahwa merupakan sudut lancip sehingga .

Dari penyelesaian umum yang pertama, yaitu , didapat perhitungan sebagai berikut.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row p equals cell 210 degree plus k times 360 degree end cell row cell 2 x end cell equals cell 210 degree plus k times 360 degree end cell row x equals cell 105 degree plus k times 180 degree end cell end table end style

Untuk diperoleh .

Dapat diperhatikan bahwa tidak memenuhi syarat yang diberikan sehingga nilai tidak mungkin lebih besar lagi.

Untuk diperoleh .

Dapat diperhatikan bahwa tidak memenuhi syarat yang diberikan sehingga nilai tidak mungkin lebih kecil lagi.

Selanjutnya, dari penyelesaian umum yang kedua, yaitu , didapat perhitungan sebagai berikut.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row p equals cell 330 degree plus k times 360 degree end cell row cell 2 x end cell equals cell 330 degree plus k times 360 degree end cell row x equals cell 165 degree plus k times 180 degree end cell end table end style

Untuk diperoleh .

Dapat diperhatikan bahwa tidak memenuhi syarat yang diberikan sehingga nilai tidak mungkin lebih besar lagi.

Untuk diperoleh .

Dapat diperhatikan bahwa tidak memenuhi syarat yang diberikan sehingga nilai tidak mungkin lebih kecil lagi.

Kemudian, dari , didapat perhitungan sebagai berikut.

Karena sinus bernilai positif di kuadran I atau II, maka penyelesaian umumnya adalah dan atau dapat dituliskan sebagai dengan adalah bilangan bulat.

Pada soal diberikan syarat bahwa merupakan sudut lancip sehingga .

Dari penyelesaian umumnya, yaitu , didapat perhitungan sebagai berikut.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row p equals cell 90 degree plus k times 360 degree end cell row cell 2 x end cell equals cell 90 degree plus k times 360 degree end cell row x equals cell 45 degree plus k times 180 degree end cell end table end style

Untuk diperoleh .

Dapat diperhatikan bahwa memenuhi syarat yang diberikan.

Untuk diperoleh .

Dapat diperhatikan bahwa tidak memenuhi syarat yang diberikan sehingga nilai tidak mungkin lebih kecil lagi.

Untuk diperoleh .

Dapat diperhatikan bahwa tidak memenuhi syarat yang diberikan sehingga nilai tidak mungkin lebih besar lagi.

Oleh karena itu, himpunan nilai yang memenuhi dengan merupakan sudut lancip adalah .

Cara II :

Misalkan maka

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 sin squared 2 x minus sin 2 x minus 1 end cell equals 0 row cell 2 y squared minus y minus 1 end cell equals 0 row cell left parenthesis 2 y space plus space 1 right parenthesis left parenthesis y space minus space 1 right parenthesis end cell equals 0 end table end style

atau

Ingat bahwa dan sehingga diperoleh

atau

Persamaan terpenuhi oleh

dan

dengan .

Karena adalah sudut lancip maka .

Kasus 1:

Akan diperoleh nilai-nilai yang memenuhi yaitu

dan

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 x end cell equals cell 180 degree minus 210 degree plus k times 360 degree end cell row cell 2 x end cell equals cell negative 30 degree plus k times 360 degree end cell row x equals cell negative 15 degree plus k times 180 degree end cell end table end style

dengan .

Kemungkinan 1: , .

Jika , maka

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell 105 degree plus left parenthesis negative 1 right parenthesis times 180 degree end cell row blank equals cell 105 degree minus 180 degree end cell row blank equals cell negative 75 degree end cell end table end style

Nilai tersebut tidak memenuhi syarat sehingga untuk nilai makin kecil pasti tidak memenuhi syarat juga.

Jika , maka

Nilai tersebut tidak memenuhi syarat sehingga untuk nilai makin besar pasti tidak memenuhi syarat juga.

Kemungkinan 2: , .

Jika , maka

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell negative 15 degree plus 0 times 180 degree end cell row blank equals cell negative 15 degree plus 0 degree end cell row blank equals cell negative 15 degree end cell end table end style

Nilai tersebut tidak memenuhi syarat sehingga untuk nilai makin kecil pasti tidak memenuhi syarat juga.

Jika , maka

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell negative 15 degree plus 1 times 180 degree end cell row blank equals cell negative 15 degree plus 180 degree end cell row blank equals cell 165 degree end cell end table end style

Nilai tersebut tidak memenuhi syarat sehingga untuk nilai makin besar pasti tidak memenuhi syarat juga.

Sehingga dari tidak memiliki penyelesaian dengan sudut lancip.

Kasus 2:

Akan diperoleh nilai-nilai yang memenuhi yaitu

dan

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 x end cell equals cell 180 degree minus 90 degree plus k times 360 degree end cell row cell 2 x end cell equals cell 90 degree plus k times 360 degree end cell row x equals cell 45 degree plus k times 180 degree end cell end table end style

dengan .

Perhatikan bahwa bentuk yang diperoleh dari dua kemungkinan solusi adalah sama, yaitu , .

Jika , maka

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell 45 degree plus left parenthesis negative 1 right parenthesis times 180 degree end cell row blank equals cell 45 degree minus 180 degree end cell row blank equals cell negative 135 degree end cell end table end style

Nilai tersebut tidak memenuhi syarat sehingga untuk nilai makin kecil pasti tidak memenuhi syarat juga.

Jika , maka

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell 45 degree plus 0 times 180 degree end cell row blank equals cell 45 degree plus 0 degree end cell row blank equals cell 45 degree end cell end table end style

Nilai tersebut memenuhi syarat .

Jika , maka

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell 45 degree plus 1 times 180 degree end cell row blank equals cell 45 degree plus 180 degree end cell row blank equals cell 225 degree end cell end table end style

Nilai tersebut tidak memenuhi syarat sehingga untuk nilai makin besar pasti tidak memenuhi syarat juga.

Dengan demikian, diperoleh himpunan nilai yang memenuhi yaitu .

Jadi, jawaban yang tepat adalah B.