Pertanyaan

Himpunan nilai x yang memenuhi cos x 2 − sin x + 1 − sin x 4 cos x = 2 sec x dengan 0 ∘ ≤ x < 36 0 ∘ adalah ....

Himpunan nilai $x$ yang memenuhi $\frac{2 - sin x}{cos x} + \frac{4 cos x}{1 - sin x} = 2 sec x$ dengan $0^{\circ} \leq x < 36 0^{\circ}$ adalah ....

A. Acfreelance

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah A.

Pembahasan

Ingat bahwa maka Untuk menghilangkan penyebut, maka kita perlu mengalikan kedua ruas persamaan di atas dengan sehingga kita peroleh Ingat bahwa atau bisa dituliskan dengan sehingga kita peroleh Misalkan maka atau atau Ingat bahwa untuk setiap . Sehingga tidak memiliki penyelesaian. Jadi, kita hanya perlu memperhatikan . Ingat bahwa maka kita punya Persamaan terpenuhi oleh dan dengan . Sehingga dipenuhi oleh dan dengan . Perhatikan bahwa kedua solusi memberikan bentuk yang sama. Sehingga dalam hal ini kita hanya memiliki satu kemungkinan solusi. Jika , maka Nilai ini tidak memenuhi syarat . Sehingga, jika nilai makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat juga. Jika , maka Nilai ini memenuhi syarat . Jika , maka Nilai ini tidak memenuhi syarat . Sehingga, jika nilai makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat juga. Sampai di sini kita peroleh nilaiyang memenuhi yaitu . Namun, perhatikan bahwa ada penyebut dengan bentuk dan jika maka membuat fungsi pada soal tidak terdefinisi. Sehingga bisa kita simpulkan bahwa, himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong. Maka kita punya himpunan nilai yang memenuhi yaitu . Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

Ingat bahwa

$begin mathsize 14px style sec space invisible function application italic x equals fraction numerator 1 over denominator cos invisible function application space italic x end fraction end style$

maka

$begin mathsize 14px style fraction numerator 2 minus sin invisible function application space x over denominator cos space invisible function application x end fraction plus fraction numerator 4 space cos invisible function application space x over denominator 1 minus sin space invisible function application x end fraction equals fraction numerator 2 over denominator cos invisible function application space x end fraction end style$

Untuk menghilangkan penyebut, maka kita perlu mengalikan kedua ruas persamaan di atas dengan sehingga kita peroleh

Ingat bahwa atau bisa dituliskan dengan sehingga kita peroleh

Misalkan maka

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 3 sin squared x plus sin x minus 4 end cell equals 0 row cell 3 y squared plus y minus 4 end cell equals 0 row cell left parenthesis 3 y plus 4 right parenthesis left parenthesis y minus 1 right parenthesis end cell equals 0 end table end style

atau

Ingat bahwa untuk setiap . Sehingga tidak memiliki penyelesaian. Jadi, kita hanya perlu memperhatikan .

Ingat bahwa maka kita punya

Persamaan terpenuhi oleh

dan

dengan .

Sehingga dipenuhi oleh

dan

dengan .

Perhatikan bahwa kedua solusi memberikan bentuk yang sama. Sehingga dalam hal ini kita hanya memiliki satu kemungkinan solusi.

Jika , maka

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell 90 degree plus left parenthesis negative 1 right parenthesis times 360 degree end cell row blank equals cell 90 degree minus 360 degree end cell row blank equals cell negative 270 degree end cell end table end style

Nilai ini tidak memenuhi syarat . Sehingga, jika nilai makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat juga.

Jika , maka

Nilai ini memenuhi syarat .

Jika , maka

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell 90 degree plus 1 times 360 degree end cell row blank equals cell 90 degree plus 360 degree end cell row blank equals cell 450 degree end cell end table end style

Nilai ini tidak memenuhi syarat . Sehingga, jika nilai makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat juga.

Sampai di sini kita peroleh nilai yang memenuhi yaitu . Namun, perhatikan bahwa ada penyebut dengan bentuk dan jika maka membuat fungsi pada soal tidak terdefinisi. Sehingga bisa kita simpulkan bahwa, himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong.

Maka kita punya himpunan nilai yang memenuhi yaitu .

Jadi, jawaban yang tepat adalah A.