Pertanyaan

Himpunan nilai x yang memenuhi cos ( 2 x + 7 5 ∘ ) = − 2 1 2 dengan 0 ∘ < x < 36 0 ∘ adalah ....

Himpunan nilai $x$ yang memenuhi $cos (2 x + 7 5^{\circ}) = - \frac{1}{2} 2$ dengan $0^{\circ} < x < 36 0^{\circ}$ adalah ....

Y. Pangestu

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah A.

Pembahasan

Cara I : Misalkan ,dari didapatkan perhitungan sebagai berikut. Bentuk positif dari bentuk di ruas kanan adalah dan nilai sudut lancip. yang memenuhi adalah . Perhatikan gambar berikut! Dapat diperhatikan bahwa bernilai negatif. Akibatnya, berada di kuadran II atau III. Perhatikan gambar berikut! Dari sudut di kuadran IIdidapat . Dari sudut di kuadran III didapat . Dalam hal ini didapatkan penyelesaian umumnya adalah dan dengan adalah bilangan bulat. Pada soal diberikan syarat . Perlu diperiksa terlebih dahulu penyelesaian umum yang pertama, yaitu . Dari penyelesaian umum ini didapat perhitungan sebagai berikut. Untuk diperoleh . Dapat diperhatikan bahwa memenuhi syarat yang diberikan. Untuk diperoleh . Dapat diperhatikan bahwa tidakmemenuhi syarat yang diberikan sehingga nilai tidak mungkin lebih kecil lagi. Untuk diperoleh . Dapat diperhatikan bahwa memenuhi syarat yang diberikan. Untuk diperoleh . Dapat diperhatikan bahwa tidakmemenuhi syarat yang diberikan sehingga nilai tidak mungkin lebih besar lagi. Dengan demikian, dari didapat nilai yang memenuhi syarat adalah dan . Kemudian, perlu diperiksa penyelesaian umum yang kedua, yaitu . Dari penyelesaian umum ini didapat perhitungan sebagai berikut. Untuk diperoleh . Dapat diperhatikan bahwa memenuhi syarat yang diberikan. Untuk diperoleh . Dapat diperhatikan bahwa tidakmemenuhi syarat yang diberikan sehingga nilai tidak mungkin lebih kecil lagi. Untuk diperoleh . Dapat diperhatikan bahwa memenuhi syarat yang diberikan. Untuk diperoleh . Dapat diperhatikan bahwa tidakmemenuhi syarat yang diberikan sehingga nilai tidak mungkin lebih besar lagi. Dengan demikian, dari didapat nilai yang memenuhi syarat adalah dan . Oleh karena itu,himpunan nilai yang memenuhi dengan adalah . Cara II : Ingat bahwa sehingga diperoleh . Persamaan terpenuhi oleh dan dengan . Perhatikan perhitungan sebagai berikut. Jika , maka . Nilai tersebuttidak memenuhi syarat sehingga untul nilai makin kecilpasti tidak memenuhi syarat juga. Jika , maka . Nilai tersebutmemenuhi syarat . Jika , maka . Nilai tersebutmemenuhi syarat . Jika , maka . Nilai tersebuttidak memenuhi syarat sehingga untuk nilai makin besar pasti tidak memenuhi syarat juga. Selanjutnya, diperoleh perhitungan sebagai berikut. Jika , maka . Nilai tersebuttidak memenuhi syarat sehingga untuk nilai makin kecilpasti tidak memenuhi syarat juga. Jika , maka . Nilai tersebutmemenuhi syarat . Jika , maka . Nilai tersebutmemenuhi syarat . Jika , maka . Nilai tersebutmemenuhi syarat sehingga untuknilai makin besar pasti tidak memenuhi syarat juga. Dengan demikian, diperoleh himpunan nilai yang memenuhi yaitu . Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

Cara I :

Misalkan , dari didapatkan perhitungan sebagai berikut.

Bentuk positif dari bentuk di ruas kanan adalah dan nilai sudut lancip. yang memenuhi adalah .

Perhatikan gambar berikut!

Dapat diperhatikan bahwa bernilai negatif.

Akibatnya, berada di kuadran II atau III.

Perhatikan gambar berikut!

Dari sudut di kuadran II didapat .

Dari sudut di kuadran III didapat .

Dalam hal ini didapatkan penyelesaian umumnya adalah dan dengan adalah bilangan bulat.

Pada soal diberikan syarat .

Perlu diperiksa terlebih dahulu penyelesaian umum yang pertama, yaitu .

Dari penyelesaian umum ini didapat perhitungan sebagai berikut.

Untuk diperoleh .

Dapat diperhatikan bahwa memenuhi syarat yang diberikan.

Untuk diperoleh .

Dapat diperhatikan bahwa tidak memenuhi syarat yang diberikan sehingga nilai tidak mungkin lebih kecil lagi.

Untuk diperoleh .

Dapat diperhatikan bahwa memenuhi syarat yang diberikan.

Untuk diperoleh .

Dapat diperhatikan bahwa tidak memenuhi syarat yang diberikan sehingga nilai tidak mungkin lebih besar lagi.

Dengan demikian, dari didapat nilai yang memenuhi syarat adalah dan .

Kemudian, perlu diperiksa penyelesaian umum yang kedua, yaitu .

Dari penyelesaian umum ini didapat perhitungan sebagai berikut.

Untuk diperoleh .

Dapat diperhatikan bahwa memenuhi syarat yang diberikan.

Untuk diperoleh .

Dapat diperhatikan bahwa tidak memenuhi syarat yang diberikan sehingga nilai tidak mungkin lebih kecil lagi.

Untuk diperoleh .

Dapat diperhatikan bahwa memenuhi syarat yang diberikan.

Untuk diperoleh .

Dapat diperhatikan bahwa tidak memenuhi syarat yang diberikan sehingga nilai tidak mungkin lebih besar lagi.

Dengan demikian, dari didapat nilai yang memenuhi syarat adalah dan .

Oleh karena itu, himpunan nilai yang memenuhi dengan adalah .

Cara II :

Ingat bahwa cos space 135 degree equals negative 1 half square root of 2 sehingga diperoleh cos space open parentheses 2 x plus 75 degree close parentheses equals cos space 135 degree .

Persamaan cos space x equals cos space a terpenuhi oleh

x equals a plus k times 360 degree

dan

x equals negative a plus k times 360 degree

dengan k element of straight natural numbers .

Perhatikan perhitungan sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 x plus 75 degree end cell equals cell 135 degree plus k times 360 degree end cell row cell 2 x end cell equals cell 60 degree plus k times 360 degree end cell row x equals cell 30 degree plus k times 180 degree end cell end table

Jika k equals negative 1 , maka x equals 30 degree plus open parentheses negative 1 close parentheses times 180 degree equals 30 degree minus 180 degree equals negative 150 degree . Nilai tersebut tidak memenuhi syarat sehingga untul nilai makin kecil pasti tidak memenuhi syarat juga.

Jika k equals 0 , maka x equals 30 degree plus open parentheses 0 close parentheses times 180 degree equals 30 degree plus 0 degree equals 30 degree . Nilai tersebut memenuhi syarat .

Jika k equals 1 , maka x equals 30 degree plus open parentheses 1 close parentheses times 180 degree equals 30 degree plus 180 degree equals 210 degree . Nilai tersebut memenuhi syarat .

Jika k equals 2 , maka x equals 30 degree plus open parentheses 2 close parentheses times 180 degree equals 30 degree plus 360 degree equals 390 degree . Nilai tersebut tidak memenuhi syarat sehingga untuk nilai makin besar pasti tidak memenuhi syarat juga.

Selanjutnya, diperoleh perhitungan sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 x plus 75 degree end cell equals cell negative 135 degree plus k times 360 degree end cell row cell 2 x end cell equals cell negative 210 degree plus k times 360 degree end cell row x equals cell negative 105 degree plus k times 180 degree end cell end table

Jika k equals 0 , maka x equals negative 105 degree plus open parentheses 0 close parentheses times 180 degree equals negative 105 degree plus 0 degree equals negative 105 degree . Nilai tersebut tidak memenuhi syarat sehingga untuk nilai makin kecil pasti tidak memenuhi syarat juga.

Jika k equals 1 , maka x equals negative 105 degree plus open parentheses 1 close parentheses times 180 degree equals negative 105 degree plus 180 degree equals 75 degree . Nilai tersebut memenuhi syarat .

Jika k equals 2 , maka x equals negative 105 degree plus open parentheses 2 close parentheses times 180 degree equals negative 105 degree plus 360 degree equals 255 degree . Nilai tersebut memenuhi syarat .

Jika k equals 3 , maka x equals negative 105 degree plus open parentheses 3 close parentheses times 180 degree equals negative 105 degree plus 540 degree equals 435 degree . Nilai tersebut memenuhi syarat sehingga untuk nilai makin besar pasti tidak memenuhi syarat juga.

Dengan demikian, diperoleh himpunan nilai yang memenuhi yaitu .

Jadi, jawaban yang tepat adalah A.