Himpunan nilai x yang memenuhi dengan −π<x<π adalah ....

Pertanyaan

Himpunan nilai $\style{font-size:14px}x$ yang memenuhi dengan $\style{font-size:14px}{-\pi<x<\pi}$ adalah ....

$begin mathsize 14px style open curly brackets negative fraction numerator 5 pi over denominator 6 end fraction comma negative fraction numerator 5 pi over denominator 12 end fraction comma pi over 6 comma fraction numerator 7 pi over denominator 12 end fraction close curly brackets end style$
$begin mathsize 14px style open curly brackets negative fraction numerator 5 pi over denominator 12 end fraction comma fraction numerator 7 pi over denominator 12 end fraction close curly brackets end style$
$begin mathsize 14px style open curly brackets negative fraction numerator 3 pi over denominator 4 end fraction comma pi over 4 close curly brackets end style$
$begin mathsize 14px style open curly brackets negative fraction numerator 3 pi over denominator 4 end fraction comma negative fraction numerator 5 pi over denominator 12 end fraction comma pi over 4 comma fraction numerator 7 pi over denominator 12 end fraction close curly brackets end style$
$open curly brackets size 14px minus fraction numerator size 14px 3 size 14px pi over denominator 8 end fraction size 14px comma size 14px minus fraction numerator size 14px 5 size 14px pi over denominator size 14px 12 end fraction size 14px comma size 14px pi over 8 size 14px comma fraction numerator size 14px 7 size 14px pi over denominator size 14px 12 end fraction close curly brackets size 14px space$

M. Robo

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah D.

Pembahasan

Perhatikan bahwa

begin mathsize 14px style negative 2 space sin invisible function application open parentheses 2 x minus pi over 3 close parentheses equals negative 1 sin invisible function application open parentheses 2 x minus pi over 3 close parentheses equals 1 half end style

Ingat bahwa Maka kita punya

Persamaan sin x = sin a terpenuhi oleh

x = a + k∙2π

dan

x = (π - a) + k∙2π

dengan k ∈ N

Pertama kita peroleh

begin mathsize 14px style 2 x minus pi over 3 equals pi over 6 plus k times 2 pi 2 x equals pi over 2 plus k times 2 pi x equals pi over 4 plus k times pi end style

Jika k = -2, maka $begin mathsize 14px style x equals pi over 4 plus open parentheses negative 2 close parentheses times pi equals pi over 4 minus 2 pi equals negative fraction numerator 7 pi over denominator 4 end fraction end style$ Nilai ini tidak memenuhi syarat x. Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga.

Jika k = -1, maka $begin mathsize 14px style x equals pi over 4 plus open parentheses negative 1 close parentheses times pi equals pi over 4 minus pi equals negative fraction numerator 3 pi over denominator 4 end fraction end style$ Nilai ini memenuhi syarat x.

Jika k = 0, maka Nilai ini memenuhi syarat x.

Jika k = 1, maka $begin mathsize 14px style x equals pi over 4 plus open parentheses 1 close parentheses times pi equals pi over 4 plus pi equals fraction numerator 5 pi over denominator 4 end fraction end style$ Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga.

Selanjutnya, kita punya

$begin mathsize 14px style 2 x minus pi over 3 equals open parentheses pi minus pi over 6 close parentheses plus k times 2 pi 2 x equals fraction numerator 7 pi over denominator 6 end fraction plus k times 2 pi x equals fraction numerator 7 pi over denominator 12 end fraction plus k times pi end style$

Jika k = -2, maka $begin mathsize 14px style x equals fraction numerator 7 pi over denominator 12 end fraction plus open parentheses negative 2 close parentheses times pi equals fraction numerator 7 pi over denominator 12 end fraction minus 2 pi equals negative fraction numerator 17 pi over denominator 12 end fraction end style$ Nilai ini tidak memenuhi syarat x. Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga.

Jika k = -1, maka $begin mathsize 14px style x equals fraction numerator 7 pi over denominator 12 end fraction plus open parentheses negative 1 close parentheses times pi equals fraction numerator 7 pi over denominator 12 end fraction minus pi equals negative fraction numerator 5 pi over denominator 12 end fraction end style$ Nilai ini memenuhi syarat x.

Jika k = 0, maka $begin mathsize 14px style x equals fraction numerator 7 pi over denominator 12 end fraction plus open parentheses 0 close parentheses times pi equals fraction numerator 7 pi over denominator 12 end fraction plus 0 equals fraction numerator 7 pi over denominator 12 end fraction end style$ Nilai ini memenuhi syarat x.

Jika k = 1, maka $begin mathsize 14px style x equals fraction numerator 7 pi over denominator 12 end fraction plus open parentheses 1 close parentheses times pi equals fraction numerator 7 pi over denominator 12 end fraction plus pi equals fraction numerator 19 pi over denominator 12 end fraction end style$ Nilai ini tidak memenuhi syarat x. Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga.

Jadi, kita punya himpunan nilai x yang memenuhi yaitu $begin mathsize 14px style open curly brackets negative fraction numerator 3 pi over denominator 4 end fraction comma negative fraction numerator 5 pi over denominator 12 end fraction comma pi over 4 comma fraction numerator 7 pi over denominator 12 end fraction close curly brackets end style$ .

Dengan demikian, jawaban yang tepat adalah D.