Pertanyaan

Himpunan nilai x yang memenuhi cos 2 x = cos 2 x ⋅ sin x dengan − 18 0 ∘ ≤ x ≤ 180 adalah ....

Himpunan nilai $x$ yang memenuhi $cos 2 x = cos 2 x \cdot sin x$ dengan $- 18 0^{\circ} \leq x \leq 180$ adalah ....

${- 18 0^{\circ}, - 13 5^{\circ}, - 9 0^{\circ}, 9 0^{\circ}, 13 5^{\circ}, 18 0^{\circ}}$

R. Fajar

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah E.

Pembahasan

Perhatikan bahwa atau Ingatbahwa dan sehingga akan diperoleh atau Persamaan terpenuhi oleh atau dengan . Oleh karena itu, dengan akan diperoleh Jika , maka . Nilai tersebuttidak memenuhi syarat s ehingga nilai makin kecilpasti tidak memenuhi syarat juga. Jika , maka Nilai tersebutmemenuhi syarat . Jika , maka Nilai tersebuttidak memenuhi syarat s ehingga nilai makin besarpasti tidak memenuhi syarat x juga. Selanjutnya, akan diperoleh Perhatikan bahwa bentuk di atas sama dengan bentuk sebelumnyasehingga akan diperoleh penyelesaian yang sama pula. Kemudian, persamaan terpenuhi oleh atau dengan . Oleh karena itu, dengan akan diperoleh perhitungan sebagai berikut. Jika , maka . Nilai tersebuttidak memenuhi syarat s ehingga nilai makin kecilpasti tidak memenuhi syarat juga. Jika , maka . Nilai tersebutmemenuhi syarat . Jika , maka Nilai tersebutmemenuhi syarat . Jika , maka Nilai tersebuttidak memenuhi syarat s ehingga nilai makin besar pasti tidak memenuhi syarat juga. Selanjutnya, akan diperoleh perhitungan sebagai berikut. Jika , maka . Nilai tersebuttidak memenuhi syarat s ehingga nilai makin kecil pasti tidak memenuhi syarat juga. Jika , maka . Nilai tersebutmemenuhi syarat . Jika , maka . Nilai tersebutmemenuhi syarat . Jika , maka . Nilai tersebuttidak memenuhi syarat s ehingga nilai makin besarpasti tidak memenuhi syarat juga. Dengan demikian, diperoleh himpunan nilai yang memenuhi yaitu . Jadi, jawaban yang tepat adalah E.

Perhatikan bahwa

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos space 2 x end cell equals cell cos space 2 x times sin space x end cell row cell cos space 2 x minus cos space 2 x times sin space x end cell equals 0 row cell cos space 2 x open parentheses 1 minus sin space x close parentheses end cell equals 0 end table
cos space 2 x equals 0 atau sin space x equals 1

Ingat bahwa cos space 90 degree equals 0 dan sin space 90 degree equals 1 sehingga akan diperoleh

cos space 2 x equals cos space 90 degree atau sin space x equals sin space 90 degree

Persamaan sin space x equals sin space a terpenuhi oleh

x equals a plus k times 360 degree

atau

x equals open parentheses 180 degree minus a close parentheses plus k times 360 degree

dengan k element of straight natural numbers .

Oleh karena itu, dengan sin space x equals sin space 90 degree akan diperoleh

x equals 90 degree plus k times 360 degree

Jika k equals negative 1 , maka x equals 90 degree plus open parentheses negative 1 close parentheses times 360 degree equals 90 degree minus 360 degree equals negative 270 degree . Nilai tersebut tidak memenuhi syarat sehingga nilai makin kecil pasti tidak memenuhi syarat juga.

Jika k equals 0 , maka x equals 90 degree plus open parentheses 0 close parentheses times 360 degree equals 90 degree plus 0 degree equals 90 degree. Nilai tersebut memenuhi syarat .

Jika k equals 1 , maka x equals 90 degree plus open parentheses 1 close parentheses times 360 degree equals 90 degree plus 360 degree equals 450 degree. Nilai tersebut tidak memenuhi syarat sehingga nilai makin besar pasti tidak memenuhi syarat x juga.

Selanjutnya, akan diperoleh

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell open parentheses 180 degree minus 90 degree close parentheses plus k times 360 degree end cell row x equals cell 90 degree plus k times 360 degree end cell end table

Perhatikan bahwa bentuk di atas sama dengan bentuk sebelumnya sehingga akan diperoleh penyelesaian yang sama pula.

Kemudian, persamaan cos space x equals cos space a terpenuhi oleh

x equals a plus k times 360 degree

atau

x equals negative a plus k times 360 degree

dengan k element of straight natural numbers .

Oleh karena itu, dengan cos space 2 x equals cos space 90 degree akan diperoleh perhitungan sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 x end cell equals cell 90 degree plus k times 360 degree end cell row x equals cell 45 degree plus k times 180 degree end cell end table

Jika k equals negative 2 , maka x equals 45 degree plus open parentheses negative 2 close parentheses times 180 degree equals 45 degree minus 360 degree equals negative 315 degree . Nilai tersebut tidak memenuhi syarat sehingga nilai makin kecil pasti tidak memenuhi syarat juga.

Jika k equals negative 1 , maka x equals 45 degree plus open parentheses negative 1 close parentheses times 180 degree equals 45 degree minus 180 degree equals negative 135 degree . Nilai tersebut memenuhi syarat .

Jika k equals 0 , maka x equals 45 degree plus open parentheses 0 close parentheses times 180 degree equals 45 degree plus 0 degree equals 45 degree. Nilai tersebut memenuhi syarat .

Jika k equals 1 , maka x equals 45 degree plus open parentheses 1 close parentheses times 180 degree equals 45 degree plus 180 degree equals 225 degree. Nilai tersebut tidak memenuhi syarat sehingga nilai makin besar pasti tidak memenuhi syarat juga.

Selanjutnya, akan diperoleh perhitungan sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 x end cell equals cell negative 90 degree plus k times 360 degree end cell row x equals cell negative 45 degree plus k times 180 degree end cell end table

Jika k equals negative 1 , maka x equals negative 45 degree plus open parentheses negative 1 close parentheses times 180 degree equals negative 45 degree minus 180 degree equals negative 225 degree . Nilai tersebut tidak memenuhi syarat sehingga nilai makin kecil pasti tidak memenuhi syarat juga.

Jika k equals 0 , maka x equals negative 45 degree plus open parentheses 0 close parentheses times 180 degree equals negative 45 degree plus 0 degree equals negative 45 degree . Nilai tersebut memenuhi syarat .

Jika k equals 1 , maka x equals negative 45 degree plus open parentheses 1 close parentheses times 180 degree equals negative 45 degree plus 180 degree equals 135 degree . Nilai tersebut memenuhi syarat .

Jika k equals 2 , maka x equals negative 45 degree plus open parentheses 2 close parentheses times 180 degree equals negative 45 degree plus 360 degree equals 315 degree . Nilai tersebut tidak memenuhi syarat sehingga nilai makin besar pasti tidak memenuhi syarat juga.

Dengan demikian, diperoleh himpunan nilai yang memenuhi yaitu open curly brackets negative 135 degree comma space minus 45 degree comma space 45 degree comma space 90 degree comma space 135 degree close curly brackets .

Jadi, jawaban yang tepat adalah E.