Banyaknya nilai x yang memenuhi 1 − cos x 2 sin x ​ + sin x 1 − cos x ​ = -2 csc x dengan 0° ≤ x < 360° adalah ....

Pembahasan

Ingat bahwa csc x = maka Untuk menghilangkan penyebut, maka kita perlu mengalikan kedua ruas persamaan di atas dengan ( 1 - cos x) ( sin x) sehingga kita peroleh ( 2 sin x) ( sin x) + ( 1 - cos x) ( 1 - cos x) = -2 ( 1 - cos x) 2 sin 2 x + 1 - cos x - cos x + cos 2 x = -2 + 2 cos x 2 sin 2 x + cos 2 x - 4 cos x + 3 = 0 Ingat bahwa sin 2 x + cos 2 x = 1 atau bisa dituliskan dengan sin 2 x = 1 - cos 2 x sehingga kita peroleh 2 sin 2 x + cos 2 x - 4 cos x + 3 = 0 2 (1 - cos 2 x ) + cos 2 x - 4 cos x + 3 = 0 2 - 2 cos 2 x + cos 2 x - 4 cos x + 3 = 0 - cos 2 x - 4 cos x + 5 = 0 cos 2 x + 4 cos x - 5 = 0 Misalkan y = cos x maka cos 2 x + 4 cos x - 5 = 0 y 2 + 4 y - 5 = 0 (y + 5) ( y - 1) = 0 y = -5 atau y = 1 cos x =-5 atau cos x = 1 Ingat bahwa - 1 ≤ cos α ≤ 1 untuk setiap α . Sehingga cos x = -5 tidak memiliki penyelesaian. Jadi, kita hanya perlu memperhatikan cos x = 1 Ingat bahwa cos 0° = 1 maka kita punya cos x = cos ( 0°) Persamaan cos x = cos a terpenuhi oleh x = a + k ∙ 360° dan x = - a + k ∙ 360° dengan k ∈ N Pertama kita punya x = 0° + k ∙ 360° x = k ∙ 360° Jika k = -1, maka x = ( - 1) ∙ 360° = -360° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Jika k = 0, maka x = ( 0) ∙ 360° = 0°. Nilai ini memenuhi syarat x . Jika k = 1, maka x = ( 1) ∙ 360° = 360° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Selanjutnya, kita punya x = -( 0°) + k ∙ 360° x = k ∙ 360° Perhatikan bahwa bentuk di atas sama dengan bentuk sebelumnya sehingga memiliki penyelesaian yang sama pula. Namun, perhatikan bahwa ada penyebut dengan bentuk sin x dan jika x = 0° maka sin 0° = 0 membuat fungsi pada soal tidak terdefinisi. Sehingga bisa kita simpulkan bahwa x = 0° tidak termasuk himpunan penyelesaian. Jadi, tidak ada nilai x yang memenuhi.