Pertanyaan

Banyaknya nilai x yang memenuhi 1 − cos x 2 sin x + sin x 1 − cos x = -2 csc x dengan 0° ≤ x < 360° adalah ....

Banyaknya nilai x yang memenuhi $\frac{2 sin x}{1 - cos x} + \frac{1 - cos x}{sin x}$ = -2 csc x dengan 0° ≤ x < 360° adalah ....

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

M. Robo

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

tidak ada nilai x yang memenuhi.

Pembahasan

Ingat bahwa csc x = maka Untuk menghilangkan penyebut, maka kita perlu mengalikan kedua ruas persamaan di atas dengan ( 1 - cos x) ( sin x) sehingga kita peroleh ( 2 sin x) ( sin x) + ( 1 - cos x) ( 1 - cos x) = -2 ( 1 - cos x) 2 sin 2 x + 1 - cos x - cos x + cos 2 x = -2 + 2 cos x 2 sin 2 x + cos 2 x - 4 cos x + 3 = 0 Ingat bahwa sin 2 x + cos 2 x = 1 atau bisa dituliskan dengan sin 2 x = 1 - cos 2 x sehingga kita peroleh 2 sin 2 x + cos 2 x - 4 cos x + 3 = 0 2 (1 - cos 2 x ) + cos 2 x - 4 cos x + 3 = 0 2 - 2 cos 2 x + cos 2 x - 4 cos x + 3 = 0 - cos 2 x - 4 cos x + 5 = 0 cos 2 x + 4 cos x - 5 = 0 Misalkan y = cos x maka cos 2 x + 4 cos x - 5 = 0 y 2 + 4 y - 5 = 0 (y + 5) ( y - 1) = 0 y = -5 atau y = 1 cos x =-5 atau cos x = 1 Ingat bahwa - 1 ≤ cos α ≤ 1 untuk setiap α . Sehingga cos x = -5 tidak memiliki penyelesaian. Jadi, kita hanya perlu memperhatikan cos x = 1 Ingat bahwa cos 0° = 1 maka kita punya cos x = cos ( 0°) Persamaan cos x = cos a terpenuhi oleh x = a + k ∙ 360° dan x = - a + k ∙ 360° dengan k ∈ N Pertama kita punya x = 0° + k ∙ 360° x = k ∙ 360° Jika k = -1, maka x = ( - 1) ∙ 360° = -360° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Jika k = 0, maka x = ( 0) ∙ 360° = 0°. Nilai ini memenuhi syarat x . Jika k = 1, maka x = ( 1) ∙ 360° = 360° . Nilai ini tidak memenuhi syarat x . Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga. Selanjutnya, kita punya x = -( 0°) + k ∙ 360° x = k ∙ 360° Perhatikan bahwa bentuk di atas sama dengan bentuk sebelumnya sehingga memiliki penyelesaian yang sama pula. Namun, perhatikan bahwa ada penyebut dengan bentuk sin x dan jika x = 0° maka sin 0° = 0 membuat fungsi pada soal tidak terdefinisi. Sehingga bisa kita simpulkan bahwa x = 0° tidak termasuk himpunan penyelesaian. Jadi, tidak ada nilai x yang memenuhi.

Ingat bahwa

csc x = $begin mathsize 14px style fraction numerator 1 over denominator sin invisible function application space x end fraction end style$

maka

$begin mathsize 14px style fraction numerator 2 space sin invisible function application space x over denominator 1 minus cos invisible function application space x end fraction plus fraction numerator 1 minus cos space invisible function application x over denominator sin space invisible function application x end fraction equals negative fraction numerator 2 over denominator sin space invisible function application x end fraction end style$

Untuk menghilangkan penyebut, maka kita perlu mengalikan kedua ruas persamaan di atas dengan (1 - cos x) (sin x) sehingga kita peroleh

(2 sin x) (sin x) + (1 - cos x) (1 - cos x) = -2 (1 - cos x)
2 sin²x + 1 - cos x - cos x + cos²x = -2 + 2 cos x
2 sin²x + cos²x - 4 cos x + 3 = 0

Ingat bahwa sin²x + cos²x = 1 atau bisa dituliskan dengan sin²x = 1 - cos²x sehingga kita peroleh

2 sin²x + cos²x - 4 cos x + 3 = 0
2 (1 - cos²x) + cos²x - 4 cos x + 3 = 0
2 - 2 cos²x + cos²x - 4 cos x + 3 = 0
-cos²x - 4 cos x + 5 = 0
cos²x + 4 cos x - 5 = 0

Misalkan y = cos x maka

cos²x + 4 cos x - 5 = 0
y²+ 4y - 5 = 0
(y + 5) (y - 1) = 0
y = -5 atau y = 1
cos x =-5 atau cos x = 1

Ingat bahwa -1 ≤ cos α ≤ 1 untuk setiap α. Sehingga cos x = -5 tidak memiliki penyelesaian. Jadi, kita hanya perlu memperhatikan cos x = 1

Ingat bahwa cos 0° = 1 maka kita punya

cos x = cos (0°)

Persamaan cos x = cos a terpenuhi oleh

x = a + k∙360°

dan

x = -a + k∙360°

dengan k ∈ N

Pertama kita punya

x = 0° + k∙360°
x = k∙360°

Jika k = -1, maka x = (-1)∙360° = -360°. Nilai ini tidak memenuhi syarat x. Sehingga, jika nilai k makin kecil maka pasti tidak memenuhi syarat x juga.

Jika k = 0, maka x = (0)∙360° = 0°. Nilai ini memenuhi syarat x.

Jika k = 1, maka x = (1)∙360° = 360°. Nilai ini tidak memenuhi syarat x. Sehingga, jika nilai k makin besar maka pasti tidak memenuhi syarat x juga.

Selanjutnya, kita punya

x = -(0°) + k∙360°
x = k∙360°

Perhatikan bahwa bentuk di atas sama dengan bentuk sebelumnya sehingga memiliki penyelesaian yang sama pula.

Namun, perhatikan bahwa ada penyebut dengan bentuk sin x dan jika x = 0° maka sin 0° = 0 membuat fungsi pada soal tidak terdefinisi. Sehingga bisa kita simpulkan bahwa x = 0° tidak termasuk himpunan penyelesaian.