Pertanyaan

Diketahui persamaan 2 sin x − 3 = 0 dan 1 − 2 cos x = 0 dengan 0 ∘ < x < 36 0 ∘ . Nilaidari tan 4 x adalah ....

Diketahui persamaan $2 sin x - 3 = 0$ dan $1 - 2 cos x = 0$ dengan $0^{\circ} < x < 36 0^{\circ}$ . Nilai dari $tan 4 x$ adalah ....

$begin mathsize 14px style fraction numerator square root of 3 over denominator 3 end fraction end style$

N. Syafriah

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah E.

Pembahasan

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan terlebih dahulu sebagai berikut. Ingat bahwa nilai dari sehingga didapat . Persamaan terpenuhi oleh dan dengan . Oleh karena itu, persamaan terpenuhi oleh dan x x = = ( 18 0 ∘ − 6 0 ∘ ) + k ⋅ 36 0 ∘ 12 0 ∘ + k ⋅ 36 0 ∘ dengan . Kemungkinan 1: dengan . Jika , maka didapat sehingga nilai tersebut memenuhi syarat. Jika , maka didapat perhitungan sebagai berikut. Karena tidak memenuhi syarat dan 42 0 ∘ > 36 0 ∘ , maka untuk nilai yang semakin besar pasti menghasilkan nilai yang tidak memenuhi syarat juga. Jika , maka didapat perhitungan sebagai berikut. Karena tidak memenuhi syarat dan − 30 0 ∘ < 0 ∘ , maka untuknilai yang semakin kecil pasti menghasilkan nilai yang tidak memenuhi syarat juga. Kemungkinan 2: dengan . Jika , maka didapat sehingga nilai tersebutmemenuhi syarat x . Jika , maka didapat perhitungan sebagai berikut. Karena tidak memenuhi syarat dan 48 0 ∘ > 36 0 ∘ , maka untuk nilai yang semakin besar pasti menghasilkan nilai yang tidak memenuhi syarat juga. Jika , maka didapat perhitungan sebagai berikut. Karena tidak memenuhi syarat dan − 24 0 ∘ < 0 ∘ , maka untuknilai yang semakin besar pasti menghasilkan nilai yang tidak memenuhi syarat juga. Oleh karena itu, himpunan nilai yang memenuhi persamaan adalah { 6 0 ∘ , 12 0 ∘ } . Kemudian, perhatikan persamaan sehingga didapat perhitungan sebagai berikut. Ingat bahwa nilai dari sehingga . Persamaan terpenuhi oleh dan dengan Oleh karena itu, persamaan terpenuhi oleh dan dengan . Kemungkinan 1: dengan . Perhatikan bahwa persamaan ini sama dengan persamaan sebelumnya pada sinus dengan nilai yang memenuhi syarat ketika nilai , yaitu Kemungkinan 2: dengan . Jika , maka didapat . Karena tidak memenuhi syarat dan − 6 0 ∘ < 0 ∘ , maka untuknilai yang semakin kecil pasti menghasilkan nilai yang tidak memenuhi syarat juga. Jika k = 1 , maka didapat perhitungan sebagai berikut. Didapat nilai yang memenuhi syarat. Jika , maka didapat perhitungan sebagai berikut. Karena tidak memenuhi syarat dan 66 0 ∘ > 0 ∘ , maka untuk nilai yang semakin besar pasti menghasilkan nilai yang tidak memenuhi syarat juga. Oleh karena itu, himpunan nilai yang memenuhi persamaan adalah { 6 0 ∘ , 30 0 ∘ } . Dari perhitungan di atas, himpunan penyelesaian untuk persamaan adalah { 6 0 ∘ , 12 0 ∘ } dan himpunan penyelesaian dari persamaan adalah { 6 0 ∘ , 30 0 ∘ } . Akibatnya,himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah irisan dari kedua himpunan penyelesaian, yaitu { 6 0 ∘ } . Dengan demikian, nilai dari tan 4 x dapat dihitung sebagai berikut. tan 4 x = = = = = tan ( 4 ⋅ 6 0 ∘ ) tan 24 0 ∘ tan ( 18 0 ∘ + 6 0 ∘ ) tan 6 0 ∘ 3 Jadi, jawaban yang tepat adalah E.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2 sin x minus square root of 3 equals 0 terlebih dahulu sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 sin x minus square root of 3 end cell equals 0 row cell 2 sin x end cell equals cell square root of 3 end cell row cell sin x end cell equals cell fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction end cell end table$

Ingat bahwa nilai dari $sin space 60 degree equals fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction$ sehingga didapat sin x equals sin space 60 degree .

Persamaan sin x equals sin a terpenuhi oleh

x equals a plus k times 360 degree

dan

x equals open parentheses 180 degree minus a close parentheses plus k times 360 degree

dengan k element of straight natural numbers .

Oleh karena itu, persamaan sin x equals sin space 60 degree terpenuhi oleh

x equals 60 degree plus k times 360 degree

dan

$x x = = (18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) + k \cdot 36 0^{\circ} 12 0^{\circ} + k \cdot 36 0^{\circ}$

dengan k element of straight natural numbers .

Kemungkinan 1: x equals 60 degree plus k times 360 degree dengan k element of straight natural numbers .

Jika k equals 0 , maka didapat x equals 60 degree plus 0 times 360 degree equals 60 degree sehingga nilai tersebut memenuhi syarat.

Jika k equals 1 , maka didapat perhitungan sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell 60 degree plus 1 times 360 degree end cell row blank equals cell 60 degree plus 360 degree end cell row blank equals cell 420 degree end cell end table

Karena 420 degree tidak memenuhi syarat dan $42 0^{\circ} > 36 0^{\circ}$ , maka untuk nilai yang semakin besar pasti menghasilkan nilai yang tidak memenuhi syarat juga.

Jika k equals negative 1 , maka didapat perhitungan sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell 60 degree plus left parenthesis negative 1 right parenthesis times 360 degree end cell row blank equals cell 60 degree minus 360 degree end cell row blank equals cell negative 300 degree end cell end table

Karena negative 300 degree tidak memenuhi syarat dan $- 30 0^{\circ} < 0^{\circ}$ , maka untuk nilai yang semakin kecil pasti menghasilkan nilai yang tidak memenuhi syarat juga.

Kemungkinan 2: x equals 120 degree plus k times 360 degree dengan k element of straight natural numbers .

Jika k equals 0 , maka didapat x equals 120 degree plus 0 times 360 degree equals 120 degree sehingga nilai tersebut memenuhi syarat x .

Jika k equals 1 , maka didapat perhitungan sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell 120 degree plus 1 times 360 degree end cell row blank equals cell 120 degree plus 360 degree end cell row blank equals cell 480 degree end cell end table

Karena 480 degree tidak memenuhi syarat dan $48 0^{\circ} > 36 0^{\circ}$ , maka untuk nilai yang semakin besar pasti menghasilkan nilai yang tidak memenuhi syarat juga.

Jika k equals negative 1 , maka didapat perhitungan sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell 120 degree plus left parenthesis negative 1 right parenthesis times 360 degree end cell row blank equals cell 120 degree minus 360 degree end cell row blank equals cell negative 240 degree end cell end table

Karena negative 240 degree tidak memenuhi syarat dan $- 24 0^{\circ} < 0^{\circ}$ , maka untuk nilai yang semakin besar pasti menghasilkan nilai yang tidak memenuhi syarat juga.

Oleh karena itu, himpunan nilai yang memenuhi persamaan 2 sin x minus square root of 3 equals 0 adalah ${6 0^{\circ}, 12 0^{\circ}}$ .

Kemudian, perhatikan persamaan 1 minus 2 cos x equals 0 sehingga didapat perhitungan sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 1 minus 2 cos x end cell equals 0 row cell negative 2 cos x end cell equals cell negative 1 end cell row cell fraction numerator negative 2 cos x over denominator negative 2 end fraction end cell equals cell fraction numerator negative 1 over denominator negative 2 end fraction end cell row cell cos x end cell equals cell 1 half end cell end table$

Ingat bahwa nilai dari cos space 60 degree equals 1 half sehingga cos x equals cos space 60 degree .

Persamaan cos x equals cos a terpenuhi oleh

x equals a plus k times 360 degree

dan

x equals negative a plus k times 360 degree

dengan k element of straight natural numbers

Oleh karena itu, persamaan cos x equals cos space 60 degree terpenuhi oleh

x equals 60 degree plus k times 360 degree

dan

x equals negative 60 degree plus k times 360 degree

dengan k element of straight natural numbers .

Kemungkinan 1: x equals 60 degree plus k times 360 degree dengan k element of straight natural numbers .

Perhatikan bahwa persamaan ini sama dengan persamaan sebelumnya pada sinus dengan nilai yang memenuhi syarat ketika nilai k equals 0 , yaitu x equals 60 degree

Kemungkinan 2: x equals negative 60 degree plus k times 360 degree dengan k element of straight natural numbers .

Jika k equals 0 , maka didapat x equals negative 60 degree plus 0 times 360 degree equals negative 60 degree .

Karena negative 60 degree tidak memenuhi syarat dan $- 6 0^{\circ} < 0^{\circ}$ , maka untuk nilai yang semakin kecil pasti menghasilkan nilai yang tidak memenuhi syarat juga.

Jika $k = 1$ , maka didapat perhitungan sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell negative 60 degree plus 1 times 360 degree end cell row blank equals cell negative 60 degree plus 360 degree end cell row blank equals cell 300 degree end cell end table

Didapat nilai 300 degree yang memenuhi syarat.

Jika k equals 2 , maka didapat perhitungan sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell negative 60 degree plus 2 times 360 degree end cell row blank equals cell negative 60 degree plus 720 degree end cell row blank equals cell 660 degree end cell end table

Karena 660 degree tidak memenuhi syarat dan $66 0^{\circ} > 0^{\circ}$ , maka untuk nilai yang semakin besar pasti menghasilkan nilai yang tidak memenuhi syarat juga.

Oleh karena itu, himpunan nilai yang memenuhi persamaan 1 minus 2 cos x equals 0 adalah ${6 0^{\circ}, 30 0^{\circ}}$ .

Dari perhitungan di atas, himpunan penyelesaian untuk persamaan 2 sin x minus square root of 3 equals 0 adalah ${6 0^{\circ}, 12 0^{\circ}}$ dan himpunan penyelesaian dari persamaan 1 minus 2 cos x equals 0 adalah ${6 0^{\circ}, 30 0^{\circ}}$ .
Akibatnya, himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah irisan dari kedua himpunan penyelesaian, yaitu ${6 0^{\circ}}$ .