Roboguru

Gelombang radio terpancar pada frekwensi dan radius tertentu. Pada frekwensi yang sama, siaran radio tidak akan tertangkap jika terjadi tumpang tindih daerah dengan siaran radio lain. Solusinya adalah dengan mencari frekwensi lain dimana tidak ada gelombang siaran radio lain pada radius pemancar radio tersebut. Jangkauan siaran radio A dinyatakan dengan persamaan  (dalam kilometer) dan jangkauan siaran radio B dengan persamaan  (dalam kilometer). a. Selidiki apakah ada daerah yang terjadi tumpang tindih siaran radio! b. Tunjukkan dengan gambar daerah siaran radio A dan radio B! c. Jika ada daerah yang terjadi tumpang tindih siaran radio, hitunglah luas daerah tersebut!

Pertanyaan

Gelombang radio terpancar pada frekwensi dan radius tertentu. Pada frekwensi yang sama, siaran radio tidak akan tertangkap jika terjadi tumpang tindih daerah dengan siaran radio lain. Solusinya adalah dengan mencari frekwensi lain dimana tidak ada gelombang siaran radio lain pada radius pemancar radio tersebut. Jangkauan siaran radio A dinyatakan dengan persamaan open parentheses x minus 2 close parentheses squared plus open parentheses y minus 5 close parentheses squared equals 64 (dalam kilometer) dan jangkauan siaran radio B dengan persamaan open parentheses x minus 12 close parentheses squared plus open parentheses y minus 5 close parentheses squared equals 36 (dalam kilometer).

a. Selidiki apakah ada daerah yang terjadi tumpang tindih siaran radio!

b. Tunjukkan dengan gambar daerah siaran radio A dan radio B!

c. Jika ada daerah yang terjadi tumpang tindih siaran radio, hitunglah luas daerah tersebut!

Pembahasan Soal:

Diketahui jangkauan siaran radio A dinyatakan dengan persamaan open parentheses x minus 2 close parentheses squared plus open parentheses y minus 5 close parentheses squared equals 64 (dalam kilometer) dan jangkauan siaran radio B dengan persamaan open parentheses x minus 12 close parentheses squared plus open parentheses y minus 5 close parentheses squared equals 36 (dalam kilometer). Siaran radio tidak akan tertangkap jika terjadi tumpang tindih daerah dengan siaran radio lain.

a. Jangkauan siaran radio A berbentuk lingkaran dan jangkauan siaran radio B juga berbentuk lingkaran maka untuk mengetahui apakah ada daerah yang terjadi tumpang tindih siaran radio dengan menentukan apakah kedua lingkaran berpotongan didua titik atau tidak. Apabila lingkaran berpotongan didua titik maka ada daerah yang terjadi tumpang tindih siaran radio dan sebaliknya. Dua lingkaran berpotongan di dua titik apabila jarak antar kedua pusat lingkaran tersebut kurang dari jumlah kedua jari-jarinya.

Persamaan lingkaran jangkauan siaran radio A yaitu open parentheses x minus 2 close parentheses squared plus open parentheses y minus 5 close parentheses squared equals 64 maka pusat lingkaran tersebut straight P subscript 1 open parentheses 2 comma 5 close parentheses dan jari-jarinya r subscript 1 equals square root of 64 equals 8 space km. Kemudian, persamaan lingkaran jangkauan siaran radio B yaitu open parentheses x minus 12 close parentheses squared plus open parentheses y minus 5 close parentheses squared equals 36 maka pusat lingkaran tersebut straight P subscript 2 open parentheses 12 comma 5 close parentheses dan jari-jarinya r subscript 2 equals square root of 36 equals 6 space km. Jarak antara straight P subscript 1 dan straight P subscript 2 sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight P subscript 1 straight P subscript 2 end cell equals cell square root of open parentheses y subscript 2 minus y subscript 1 close parentheses squared plus open parentheses x subscript 2 minus x subscript 1 close parentheses squared end root end cell row blank equals cell square root of open parentheses 5 minus 5 close parentheses squared plus open parentheses 12 minus 2 close parentheses squared end root end cell row blank equals cell square root of 0 squared plus 10 squared end root end cell row blank equals cell square root of 0 plus 100 end root end cell row blank equals cell square root of 100 end cell row blank equals cell 10 space km end cell end table

Lalu, jumlah kedua jari-jarinya sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell r subscript 1 plus r subscript 2 end cell equals cell 8 plus 6 end cell row blank equals cell 14 space km end cell end table

Berdasarkan uraian di atas, straight P subscript 1 straight P subscript 2 equals 10 space km less than 14 space km atau straight P subscript 1 straight P subscript 2 less than r subscript 1 plus r subscript 2 artinya kedua lingkaran berpotongan di dua titik sehingga ada daerah yang terjadi tumpang tindih siaran radio.

Jadi, ada daerah yang terjadi tumpang tindih siaran radio.

b. Gambar daerah siaran radio A dan radio B sebagai berikut.

c.  Gambar daerah yang terjadi tumpang tindih radio sebagai berikut.

Pada gambar di atas, daerah yang diarsir adalah daerah yang terjadi tumpang tindih siaran radio. Luas daerah tersebut sama dengan luas tembereng lingkaran straight P subscript 1 dan straight P subscript 2. Daerah yang diarsir warna biru adalah daerah tembereng dari lingkaran straight P subscript 2 dan daerah yang diarsir warna merah adalah daerah tembereng lingkaran straight P subscript 1. Langkah-langkah menentukan luas daerah tersebut sebagai berikut.

Menentukan titik potong kedua lingkaran

L subscript 1 colon space open parentheses x minus 2 close parentheses squared plus open parentheses y minus 5 close parentheses squared equals 64 rightwards double arrow x squared plus y squared minus 4 x minus 10 y minus 35 equals 0 L subscript 2 colon space open parentheses x minus 12 close parentheses squared plus open parentheses y minus 5 close parentheses squared equals 36 space space space space space space rightwards double arrow x squared plus y squared minus 24 x minus 10 y plus 133 equals 0

Eliminasi y dari persamaan lingkaran 1 dan 2 sebagai berikut.

table row cell space space space space space x squared plus y squared minus 4 x minus 10 y minus 35 equals 0 end cell row cell bottom enclose x squared plus y squared minus 24 x minus 10 y plus 133 equals 0 end enclose end cell end table subscript minus space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space 20 x minus 168 equals 0 space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space 20 x equals 168 space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space x equals 168 over 2 space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals 8 comma 4 

Kemudian, substitusi nilai x equals 8 comma 4 pada persamaan lingkaran 1.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell open parentheses x minus 2 close parentheses squared plus open parentheses y minus 5 close parentheses squared end cell equals 64 row cell open parentheses 8 comma 4 minus 2 close parentheses squared plus open parentheses y minus 5 close parentheses squared end cell equals 64 row cell open parentheses 6 comma 4 close parentheses squared plus open parentheses y minus 5 close parentheses squared end cell equals 64 row cell 40 comma 96 plus open parentheses y minus 5 close parentheses squared end cell equals 64 row cell open parentheses y minus 5 close parentheses squared end cell equals cell 64 minus 40 comma 96 end cell row blank equals cell 23 comma 04 end cell row cell y minus 5 end cell equals cell plus-or-minus square root of 23 comma 04 end root end cell row y equals cell 5 plus-or-minus square root of 23 comma 04 end root end cell end table

y equals 5 plus square root of 23 comma 04 end root space space atau space space y equals 5 minus square root of 23 comma 04 end root

Oleh karena itu titik potong kedua lingkaran yaitu straight Q open parentheses open parentheses 8 comma 4 close parentheses comma open parentheses 5 plus square root of 23 comma 04 end root close parentheses close parentheses dan straight R open parentheses open parentheses 8 comma 4 close parentheses comma open parentheses 5 minus square root of 23 comma 04 end root close parentheses close parentheses.

Menentukan panjang bold QR

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row QR equals cell square root of open parentheses 5 minus square root of 23 comma 04 end root minus open parentheses 5 plus square root of 23 comma 04 end root close parentheses close parentheses squared plus open parentheses 8 comma 4 minus 8 comma 4 close parentheses squared end root end cell row blank equals cell square root of open parentheses negative square root of 23 comma 04 end root close parentheses squared plus 0 squared end root end cell row blank equals cell square root of 23 comma 04 end root space km end cell end table

Menentukan bold angle bold QP subscript bold 1 bold R dan bold angle bold QP subscript bold 2 bold R 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell QR squared end cell equals cell straight P subscript 1 straight Q squared plus straight P subscript 1 straight R squared minus 2 open parentheses straight P subscript 1 straight Q close parentheses open parentheses straight P subscript 1 straight R close parentheses cos space angle QP subscript 1 straight R end cell row cell open parentheses square root of 23 comma 04 end root close parentheses squared end cell equals cell open parentheses straight r subscript 1 close parentheses squared plus open parentheses straight r subscript 1 close parentheses squared minus 2 open parentheses straight r subscript 1 close parentheses open parentheses straight r subscript 1 close parentheses cos space angle QP subscript 1 straight R end cell row cell 23 comma 04 end cell equals cell 8 squared plus 8 squared minus 2 open parentheses 8 close parentheses open parentheses 8 close parentheses cos space angle QP subscript 1 straight R end cell row cell 23 comma 04 end cell equals cell 64 plus 64 minus 128 cos space angle QP subscript 1 straight R end cell row cell 128 cos space angle QP subscript 1 straight R end cell equals cell 128 minus 23 comma 04 end cell row cell 128 cos space angle QP subscript 1 straight R end cell equals cell 104 comma 96 end cell row cell cos space angle QP subscript 1 straight R end cell equals cell fraction numerator 104 comma 96 over denominator 128 end fraction end cell row cell cos space angle QP subscript 1 straight R end cell equals cell 0 comma 82 end cell row cell angle QP subscript 1 straight R end cell equals cell 34 comma 92 degree end cell end table
 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell QR squared end cell equals cell straight P subscript 2 straight Q squared plus straight P subscript 2 straight R squared minus 2 open parentheses straight P subscript 2 straight Q close parentheses open parentheses straight P subscript 2 straight R close parentheses cos space angle QP subscript 2 straight R end cell row cell open parentheses square root of 23 comma 04 end root close parentheses squared end cell equals cell open parentheses straight r subscript 2 close parentheses squared plus open parentheses straight r subscript 2 close parentheses squared minus 2 open parentheses straight r subscript 2 close parentheses open parentheses straight r subscript 2 close parentheses cos space angle QP subscript 2 straight R end cell row cell 23 comma 04 end cell equals cell 6 squared plus 6 squared minus 2 open parentheses 6 close parentheses open parentheses 6 close parentheses cos space angle QP subscript 2 straight R end cell row cell 23 comma 04 end cell equals cell 36 plus 36 minus 72 cos space angle QP subscript 2 straight R end cell row cell 72 cos space angle QP subscript 2 straight R end cell equals cell 72 minus 23 comma 04 end cell row cell 72 cos space angle QP subscript 2 straight R end cell equals cell 48 comma 96 end cell row cell cos space angle QP subscript 2 straight R end cell equals cell fraction numerator 48 comma 96 over denominator 72 end fraction end cell row cell cos space angle QP subscript 2 straight R end cell equals cell 0 comma 68 end cell row cell angle QP subscript 2 straight R end cell equals cell 47 comma 16 degree end cell end table

Menentukan luas juring bold QP subscript bold 1 bold R dan bold QP subscript bold 2 bold R.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space juring space QP subscript 1 straight R end cell equals cell fraction numerator angle QP subscript 1 straight R over denominator 360 degree end fraction cross times Luas space L subscript 1 end cell row blank equals cell fraction numerator 34 comma 92 degree over denominator 360 degree end fraction cross times straight pi cross times open parentheses straight r subscript 1 close parentheses squared end cell row blank equals cell 0 comma 097 cross times 3 comma 14 cross times open parentheses 8 close parentheses squared end cell row blank equals cell 0 comma 097 cross times 3 comma 14 cross times 64 end cell row blank equals cell 19 comma 49 space km squared end cell end table
 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space juring space QP subscript 2 straight R end cell equals cell fraction numerator angle QP subscript 2 straight R over denominator 360 degree end fraction cross times Luas space L subscript 2 end cell row blank equals cell fraction numerator 47 comma 16 degree over denominator 360 degree end fraction cross times straight pi cross times open parentheses straight r subscript 2 close parentheses squared end cell row blank equals cell 0 comma 131 cross times 3 comma 14 cross times open parentheses 6 close parentheses squared end cell row blank equals cell 0 comma 131 cross times 3 comma 14 cross times 36 end cell row blank equals cell 14 comma 8 space km squared end cell end table

Menentukan luas segitiga bold QP subscript bold 1 bold R dan bold QP subscript bold 2 bold R 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell text P end text subscript 1 straight S end cell equals cell square root of QP subscript 1 squared minus QS squared end root end cell row blank equals cell square root of straight r subscript 1 squared minus open parentheses 1 half QR close parentheses squared end root end cell row blank equals cell square root of 8 squared minus open parentheses 1 half square root of 23 comma 04 end root close parentheses squared end root end cell row blank equals cell square root of 64 minus fraction numerator 23 comma 04 over denominator 4 end fraction end root end cell row blank equals cell square root of 64 minus 5 comma 76 end root end cell row blank equals cell square root of 58 comma 24 end root end cell row blank equals cell 7 comma 63 space km end cell end table

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space increment QP subscript 1 straight R end cell equals cell 1 half cross times a italic cross times t end cell row blank equals cell 1 half cross times QR cross times straight P subscript 1 straight S end cell row blank equals cell 1 half cross times square root of 23 comma 04 end root cross times 7 comma 63 end cell row blank equals cell 1 half cross times 4 comma 8 cross times 7 comma 63 end cell row blank equals cell 18 comma 312 space km squared end cell end table

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight P subscript 2 straight S end cell equals cell square root of straight P subscript 2 straight Q squared minus QS squared end root end cell row blank equals cell square root of open parentheses straight r subscript 2 close parentheses squared minus open parentheses 1 half cross times QR close parentheses squared end root end cell row blank equals cell square root of 6 squared minus open parentheses 1 half cross times square root of 23 comma 04 end root close parentheses squared end root end cell row blank equals cell square root of 36 minus fraction numerator 23 comma 04 over denominator 4 end fraction end root end cell row blank equals cell square root of 36 minus 5 comma 76 end root end cell row blank equals cell square root of 30 comma 24 end root end cell row blank equals cell 5 comma 5 space km squared end cell end table

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space increment QP subscript 2 straight R end cell equals cell 1 half cross times a cross times t end cell row blank equals cell 1 half cross times QR cross times straight P subscript 2 straight S end cell row blank equals cell 1 half cross times square root of 23 comma 04 end root cross times 5 comma 5 end cell row blank equals cell 1 half cross times 4 comma 8 cross times 5 comma 5 end cell row blank equals cell fraction numerator 26 comma 4 over denominator 2 end fraction end cell row blank equals cell 13 comma 2 space km squared end cell end table

Menentukan luas tembereng bold QP subscript bold 1 bold R dan bold QP subscript bold 2 bold R 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell Luas space tembereng space QP subscript 1 straight R end cell row blank equals cell Luas space juring space QP subscript 1 straight R minus Luas space segitiga space QP subscript 1 straight R end cell row blank equals cell 19 comma 49 minus 18 comma 312 end cell row blank equals cell 1 comma 178 space km squared end cell end table

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell Luas space tembereng space QP subscript 2 straight R end cell row blank equals cell Luas space juring space QP subscript 2 straight R minus Luas space segitiga space QP subscript 2 straight R end cell row blank equals cell 14 comma 8 minus 13 comma 2 end cell row blank equals cell 1 comma 6 space km squared end cell end table

Menentukan luas daerah yang terjadi tumpang tindih siaran radio

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell Luas space daerah end cell row blank equals cell Luas space tembereng space QP subscript 1 straight R plus Luas space tembereng space QP subscript 2 straight R end cell row blank equals cell 1 comma 178 plus 1 comma 6 end cell row blank equals cell 2 comma 778 space km squared end cell end table


Jadi, luas daerah yang terjadi tumpang tindih siaran radio yaitu 2 comma 778 space km squared.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

R. Hajrianti

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Indonesia

Terakhir diupdate 03 Mei 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius melalui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran ke...

Pembahasan Soal:

Perhatikan gambar!

begin mathsize 14px style Daerah space irisan space tersebut space terdiri space dari space dua space tembereng space  lingkaran comma space oleh space karena space itu space akan space dihitung space satu space persatu space  kemudian space jumlahkan space hasilnya.    Bagian space pertama end style

Error converting from MathML to accessible text.

begin mathsize 14px style Daerah space tersebut space adalah space setengah space lingkaran space yang space kecil space colon  1 half straight pi open parentheses 3 square root of 2 close parentheses squared equals 9 straight pi    Sehingga space luas space total space adalah  9 straight pi minus 18 plus 9 straight pi equals 18 straight pi minus 18 end style

0

Roboguru

Diketahui dua buah lingkaran. Pusat lingkaran  dan memiliki jari-jari  serta pusat lingkaran  dan memiliki panjang jari-jari . Tentukan: a. Titik potong kedua lingkaran b. Luas irisan kedua lingkara...

Pembahasan Soal:

Diketahui:

Pusat lingkaran pertama begin mathsize 14px style straight A open parentheses 1 comma space 0 close parentheses end style dan begin mathsize 14px style straight r subscript 1 equals 5 space cm end style

Pusat lingkaran kedua begin mathsize 14px style straight B open parentheses 7 comma space 0 close parentheses end style dan begin mathsize 14px style straight r subscript 2 equals 4 space cm end style

a. Titik potong kedua lingkaran

Tentukan terlebih dahulu persamaan kedua lingkaran tersebut.

Bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat begin mathsize 14px style straight P open parentheses straight a comma space straight b close parentheses end style dan jari-jari begin mathsize 14px style straight r end style, adalah:

begin mathsize 14px style open parentheses x minus straight a close parentheses squared plus open parentheses y minus straight b close parentheses squared equals straight r squared end style

Diperoleh:

Persamaan lingkaran pertama,

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell L subscript 1 space colon space open parentheses x minus 1 close parentheses squared plus open parentheses y minus 0 close parentheses squared end cell equals cell 5 squared end cell row cell x squared minus 2 x plus 1 plus y squared end cell equals 25 row cell x squared plus y squared minus 2 x end cell equals cell 25 minus 1 end cell row cell x squared plus y squared minus 2 x end cell equals 24 end table end style

Persamaan lingkaran kedua,

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell L subscript 2 space colon space open parentheses x minus 7 close parentheses squared plus open parentheses y minus 0 close parentheses squared end cell equals cell 4 squared end cell row cell x squared minus 14 x plus 49 plus y squared end cell equals 16 row cell x squared plus y squared minus 14 x end cell equals cell 16 minus 49 end cell row cell x squared plus y squared minus 14 x end cell equals cell negative 33 end cell end table end style

Kemudian eliminasi kelua persamaan lingkaran seperti berikut:

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left end attributes row cell down diagonal strike x squared end strike plus down diagonal strike y squared end strike minus 2 x end cell equals 24 row cell down diagonal strike x squared end strike plus down diagonal strike y squared end strike minus 14 x end cell equals cell negative 33 space minus end cell row cell 12 x end cell equals 57 row x equals cell 57 over 12 end cell row x equals cell 19 over 4 end cell end table end style

Kemudian substitusi begin mathsize 14px style x equals 19 over 4 end style ke persamaan salah satu lingkaran untuk memperoleh titik undefined seperti berikut:

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x squared plus y squared minus 2 x end cell equals 24 row cell open parentheses 19 over 4 close parentheses squared plus y squared minus 2 open parentheses 19 over 4 close parentheses end cell equals 24 row cell 361 over 16 plus y squared minus 19 over 2 end cell equals 24 row cell y squared plus 361 over 16 minus fraction numerator 19 open parentheses 8 close parentheses over denominator 2 open parentheses 8 close parentheses end fraction end cell equals 24 row cell y squared plus 361 over 16 minus 152 over 16 end cell equals 24 row cell y squared plus 209 over 16 end cell equals 24 row cell y squared end cell equals cell 24 minus 209 over 16 end cell row cell y squared end cell equals cell fraction numerator 24 open parentheses 16 close parentheses over denominator 16 end fraction minus 209 over 16 end cell row cell y squared end cell equals cell 384 over 16 minus 209 over 16 end cell row cell y squared end cell equals cell 175 over 16 end cell row cell square root of y squared end root end cell equals cell plus-or-minus square root of 175 over 16 end root end cell row y equals cell plus-or-minus fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 4 end fraction end cell end table end style

Diperoleh titik undefined adalah begin mathsize 14px style y equals fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 4 end fraction end style dan begin mathsize 14px style y equals negative fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 4 end fraction end style.

Maka, titik potong kedua lingkaran adalah undefined dan begin mathsize 14px style open parentheses 19 over 4 comma space minus fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 4 end fraction close parentheses end style.

 

b. Luas irisan kedua lingkaran

Tentukan panjang CD terlebih dahulu seperti berikut:

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row CD equals cell square root of open parentheses 19 over 4 minus 19 over 4 close parentheses squared plus open parentheses fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 4 end fraction minus open parentheses negative fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 4 end fraction close parentheses close parentheses squared end root end cell row blank equals cell square root of 0 plus open parentheses fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 4 end fraction plus fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 4 end fraction close parentheses squared end root end cell row blank equals cell square root of open parentheses fraction numerator 10 square root of 7 over denominator 4 end fraction close parentheses squared end root end cell row blank equals cell square root of open parentheses fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 2 end fraction close parentheses squared end root end cell row blank equals cell fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 2 end fraction space cm end cell end table end style

Tentukan sudut kedua busur:

  • Busur pada lingkaran pertama

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos angle CAD end cell equals cell fraction numerator 2 straight r squared minus CD squared over denominator 2 straight r squared end fraction end cell row cell cos angle CAD end cell equals cell fraction numerator 2 open parentheses 5 close parentheses squared minus open parentheses begin display style fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 2 end fraction end style close parentheses squared over denominator 2 open parentheses 5 close parentheses squared end fraction end cell row cell cos angle CAD end cell equals cell fraction numerator 50 minus begin display style 175 over 4 end style over denominator 50 end fraction end cell row cell cos angle CAD end cell equals cell fraction numerator begin display style 25 over 4 end style over denominator 50 end fraction end cell row cell cos angle CAD end cell equals cell 1 over 8 end cell row cell angle CAD end cell equals cell arc space cos 1 over 8 end cell row cell angle CAD end cell equals cell 82 comma 82 degree end cell row cell angle CAD end cell equals cell 83 degree end cell end table end style

  • Busur pada lingkaran kedua

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos angle CBD end cell equals cell fraction numerator 2 straight r squared minus CD squared over denominator 2 straight r squared end fraction end cell row cell cos angle CBD end cell equals cell fraction numerator 2 open parentheses 4 close parentheses squared minus open parentheses begin display style fraction numerator 5 square root of 7 over denominator 2 end fraction end style close parentheses squared over denominator 2 open parentheses 4 close parentheses squared end fraction end cell row cell cos angle CBD end cell equals cell fraction numerator 32 minus begin display style 175 over 16 end style over denominator 32 end fraction end cell row cell cos angle CBD end cell equals cell fraction numerator begin display style 337 over 16 end style over denominator 32 end fraction end cell row cell cos angle CBD end cell equals cell 337 over 512 end cell row cell angle CBD end cell equals cell arc space cos 337 over 512 end cell row cell angle CBD end cell equals cell 48 comma 84 degree end cell row cell angle CBD end cell equals cell 49 degree end cell end table end style

Diperoleh begin mathsize 14px style angle CAD equals 83 degree end style dan begin mathsize 14px style angle CBD equals 49 degree end style 

Tentukan luas juring, luas sgitiga, dan luas tembereng kedua lingkaran:

  • Luas juring lingkaran pertama

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space juring subscript 1 end cell equals cell fraction numerator angle CAD over denominator 360 degree end fraction times straight pi times straight r subscript 1 squared end cell row blank equals cell fraction numerator 83 degree over denominator 360 degree end fraction times 22 over 7 times 5 squared end cell row blank equals cell 18 comma 11 end cell row blank equals cell 18 space cm squared end cell end table end style

  • Luas segitiga CAD

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space increment CAD end cell equals cell 1 half times AC times AD times sin angle CAD end cell row blank equals cell 1 half times 5 squared times sin space 83 degree end cell row blank equals cell 1 half times 25 times open parentheses 0 comma 992546 close parentheses end cell row blank equals cell fraction numerator 24 comma 81365 over denominator 2 end fraction end cell row blank equals cell 12 comma 40 end cell row blank equals cell 12 space cm squared end cell end table end style

  • Luas tembereng segitiga pertama

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space tembereng subscript 1 end cell equals cell Luas space juring subscript 1 minus Luas space increment CAD end cell row blank equals cell 18 space cm squared minus 12 space cm squared end cell row blank equals cell 6 space cm squared end cell end table end style

  • Luas juring lingkaran kedua

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space juring subscript 2 end cell equals cell fraction numerator angle CBD over denominator 360 degree end fraction times straight pi times straight r subscript 2 squared end cell row blank equals cell fraction numerator 49 degree over denominator 360 degree end fraction times 22 over 7 times 4 squared end cell row blank equals cell 6 comma 84 end cell row blank equals cell 7 space cm squared end cell end table end style

  • Luas segitiga CBD

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space increment CBD end cell equals cell 1 half times BC times BD times sin angle CBD end cell row blank equals cell 1 half times 4 squared times sin space 49 degree end cell row blank equals cell 1 half times 16 times left parenthesis 0 comma 75471 right parenthesis end cell row blank equals cell fraction numerator 24 comma 81365 over denominator 2 end fraction end cell row blank equals cell 6 comma 03 end cell row blank equals cell 6 space cm squared end cell end table end style

  • Luas tembereng segitiga kedua

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space tembereng subscript 2 end cell equals cell Luas space juring subscript 2 minus Luas space increment CBD end cell row blank equals cell 7 space cm squared minus 6 space cm squared end cell row blank equals cell 1 space cm squared end cell end table end style

Luas irisan lingkaran adalah sebagai berikut:

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space irisan end cell equals cell Luas space tembereng subscript 1 plus Luas space tembereng subscript 2 end cell row blank equals cell 6 space cm squared plus 1 space cm squared end cell row blank equals cell 7 space cm squared end cell end table end style

Maka, luas irisan kedua lingkaran adalah begin mathsize 14px style 7 space cm squared end style.

0

Roboguru

Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius  melalui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran k...

Pembahasan Soal:

Daerah space irisan space tersebut space terdiri space dari space dua space tembereng space lingkaran comma  oleh space karena space itu space akan space dihitung space satu space persatu space kemudian space jumlahkan space hasilnya    bottom enclose bold Bagian bold space bold pertama end enclose

Pada space gambar space di space atas space daerah space berwarna space gelap space merupakan space tembereng  lingkaran space besar. space Luasnya space diperoleh space dari space luas space juring space DAE space dikurangi space luas  segitiga space DAE.  Perhatikan space bahwa space sudut space DAE equals 90 degree space karena space DE space adalah space diameter  lingkaran space kecil.    Luas space juring space DAE equals fraction numerator 90 degree over denominator 360 degree end fraction cross times straight pi cross times 6 squared equals 9 straight pi  Luas space segitiga thin space DAE space equals space fraction numerator 6 cross times 6 over denominator 2 end fraction equals 18  Jadi space luas space daerah space straight I space adalah space equals space box enclose 9 straight pi minus 18 end enclose.    bottom enclose bold Bagian bold space bold kedua end enclose

Karena space DE space adalah space diameter space lingkaran space kecil comma space maka space luas space daerah space II space adalah  setengah space dari space luas space lingkaran space kecil comma space yaitu space 1 half straight pi open parentheses 3 square root of 2 close parentheses squared equals box enclose 9 straight pi end enclose.    Sehingga space luas space total space adalah space open parentheses 9 straight pi minus 18 close parentheses plus 9 straight pi equals box enclose 18 straight pi minus 18 end enclose

0

Roboguru

Titik AdanB masing-masing pusat lingkaran, berjari-jari 10cmdan17cm. Panjang EF=16cm. Tentukan luas daerah yang diarsir.

Pembahasan Soal:

Ingat,

Cara menghitung luas daerah yang diarsir dari lingkaran yang beririsan dengan cara luas juring lingkaran dikurangi luas segitiga

Luas juring lingkaran

LuasJuring==360SudutPusat×LuasLingkaran360SudutPusat×πr2

Keterangan:

r jari-jari dan π=722atau3,14

Sudut pusat dapat diperoleh menggunakan aturan sinus

Aturan sinus

SinAa=SinBb=SinCc

Luas segitiga

LuasSegitiga=21×a×t

Berdasarkan rumus-rumus tersebut, diperoleh perhitungan sebagai berikut

Diketahui jari-jari lingkaran AdanB adalah 10cmdan17cm, panjang EF=16cm

► Menghitung panjang AD menggunakan Teorema Pythagoras

AD2ADADADAD=====AE2DE21028210064366

► Menghitung panjang BD menggunakan Teorema Pythagoras

BD2BDBDBDBD=====BE2DE2172822896422515

►Menghitung Luas Segitiga AEF

LAEF====21×EF×AD21×16×68×648cm2

►Menghitung Luas Segitiga BEF

LBEF====21×EF×BD21×16×158×15120cm2

► Menghitung Sudut Pusat EAF

EAF=EAD+DAFKarenaDAF=EADmakaEAF=2×EAD

Menghitung sudut EAD

sinDAEsin901011010sinAsinAA======sinADEsinA8sinA8810853

EAD=53, sehingga

 EAF===2×EAD2×53106

► Menghitung Sudut Pusat EBF

EBF=EBD+DBFKarenaDBF=EBDmakaEAF=2×EBD

Menghitung sudut EBD

sinDBEsin901711717sinBsinBB======sinBDEsinB8sinB8817828

EBD=28, sehingga

 EBF===2×EBD2×2856

►Menghitung Luas Juring EAF

LJuringEAF====360EAF×πr2360106×3,14×10×1018053×31492,45cm2

►Menghitung Luas Juring EBF

LJuringEBF====360EBF×πr236056×3,14×17×17457×907,46141,16cm2

►Menghitung Luas Daerah yang Diarsir 

====LuasDaerahArsiranLJuringEAFLAEF+LJuringEBFLEBF92,4548+141,1612044,45+21,1665,61cm2

Dengan demikian, luas daerah yang diarsir adalah  65,61cm2. 

0

Roboguru

Diketahui dua buah lingkaran memiliki panjang jari-jari yang sama. Lingkaran pertama dengan pusat  menyinggung sumbu-. Lingkaran kedua dengan pusat  dan panjang jari-jari 12 satuan. Luas daerah irisan...

Pembahasan Soal:

Perhatikan sketsa dua buah lingkaran di bawah ini!

Lingkaran begin mathsize 14px style straight L subscript 1 end style melalui pusat begin mathsize 14px style open parentheses 6 comma space 8 close parentheses end style dan memiliki jari-jari 6 satuan. Oleh karena itu, begin mathsize 14px style straight L subscript 1 end style memiliki persamaan sebagai berikut.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell open parentheses x minus 6 close parentheses squared plus open parentheses x minus 8 close parentheses squared end cell equals cell 6 squared end cell row cell x squared minus 12 x plus 36 plus y squared minus 16 y plus 64 end cell equals 36 row cell x squared plus y squared minus 12 x minus 16 y plus 64 end cell equals 0 row blank blank blank end table end style

Lingkaran begin mathsize 14px style straight L subscript 2 end style melalui pusat begin mathsize 14px style open parentheses 0 comma space 0 close parentheses end style dan memiliki jari-jari 12 satuan. Oleh karena itu, begin mathsize 14px style straight L subscript 2 end style memiliki persamaan sebagai berikut.

begin mathsize 14px style open parentheses x minus 0 close parentheses squared plus open parentheses x minus 0 close parentheses squared equals 12 squared x squared plus y squared minus 144 equals 0 end style

Kemudian dengan mengeliminasi kedua persamaan lingkaran di atas, maka diperoleh

begin mathsize 14px style space space space space space space space space space space space space space space space space space x squared plus y squared minus 144 equals 0 bottom enclose x squared plus y squared minus 12 x minus 16 y plus 64 equals 0 blank minus end enclose space space space space space space space space space space space space 12 x plus 16 y minus 208 equals 0 blank open parentheses divided by 4 close parentheses space space space space space space space space space space space space space space space space space space 3 x plus 4 y minus 52 equals 0 end style

Perhatikan gambar berikut!

Jarak pusat begin mathsize 14px style straight L subscript 2 end style ke tali busur persekutuan TV dapat dihitung dengan cara berikut ini.

begin mathsize 14px style d equals open vertical bar fraction numerator 3 open parentheses 0 close parentheses plus 4 open parentheses 0 close parentheses minus 52 over denominator square root of 3 squared plus 4 squared end root end fraction close vertical bar equals 52 over 5 end style

Oleh karena itu, didapat

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row TO equals cell square root of open parentheses TP subscript 2 close parentheses squared minus d squared end root end cell row blank equals cell square root of 12 squared minus open parentheses 52 over 5 close parentheses squared end root end cell row blank equals cell square root of 144 minus fraction numerator 2.704 over denominator 25 end fraction end root end cell row blank equals cell square root of 896 over 25 end root end cell row blank equals cell 8 over 5 square root of 14 end cell end table end style

Karena begin mathsize 14px style TV equals 2 cross times TO end style, maka didapat

begin mathsize 14px style TV equals 2 cross times 8 over 5 square root of 14 equals 16 over 5 square root of 14 end style

Kemudian kita hitung besar sudut begin mathsize 14px style TP subscript 2 straight V end style dengan menggunakan aturan cosinus pada segitiga begin mathsize 14px style TP subscript 2 straight V end style.

 begin mathsize 12px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell left parenthesis TV right parenthesis squared end cell equals cell open parentheses TP subscript 2 close parentheses squared plus open parentheses VP subscript 2 close parentheses squared minus 2 open parentheses TP subscript 2 close parentheses open parentheses VP subscript 2 close parentheses cos open parentheses TP subscript 2 straight V close parentheses end cell row cell open parentheses 16 over 5 square root of 14 close parentheses squared end cell equals cell 12 squared plus 12 squared minus 2 times 12 times 12 times cos open parentheses TP subscript 2 straight V close parentheses end cell row cell 3584 over 25 end cell equals cell 144 plus 144 minus 288 times cos open parentheses TP subscript 2 straight V close parentheses end cell row cell 3584 over 25 end cell equals cell 288 minus 288 cos open parentheses TP subscript 2 straight V close parentheses end cell row cell 288 cos open parentheses TP subscript 2 straight V close parentheses end cell equals cell 288 minus 3584 over 25 end cell row cell 288 cos open parentheses TP subscript 2 straight V close parentheses end cell equals cell 7200 over 25 minus 3584 over 25 end cell row cell 288 cos open parentheses TP subscript 2 straight V close parentheses end cell equals cell 3616 over 25 end cell row cell cos open parentheses TP subscript 2 straight V close parentheses end cell equals cell 3616 over 7200 end cell row cell cos open parentheses TP subscript 2 straight V close parentheses end cell equals cell 113 over 225 end cell row cell arc space cos open parentheses 113 over 225 close parentheses end cell almost equal to cell 60 degree end cell row cell straight m angle TP subscript 2 straight V end cell almost equal to cell 60 degree end cell end table end style

Luas tembereng lingkaran yang dibatasi oleh begin mathsize 14px style straight L subscript 2 end style (ungu) dengan tali busur TV adalah sebagai berikut.

begin mathsize 14px style Luas blank juring space TP subscript 2 straight V blank minus Luas blank increment TP subscript 2 straight V equals open parentheses fraction numerator straight m straight angle TP subscript 2 straight V over denominator 360 degree end fraction cross times straight pi r subscript 2 superscript 2 close parentheses minus open parentheses 1 half cross times TV cross times d close parentheses equals open parentheses fraction numerator 60 degree over denominator 360 degree end fraction cross times 12 squared straight pi close parentheses minus open parentheses 1 half cross times 16 over 5 square root of 14 cross times 52 over 5 close parentheses equals open parentheses 1 over 6 cross times 144 straight pi close parentheses minus 416 over 25 square root of 14 equals 24 straight pi minus 416 over 25 square root of 14 end style

Selanjutnya, hitung luas daerah yang merupakan luas daerah juring lingkaran kecil (daerah kuning).