Pertanyaan

Titik A dan B masing-masing pusat lingkaran, berjari-jari 10 cm dan 17 cm . Panjang EF = 16 cm . Tentukan luas daerah yang diarsir.

Titik $A dan B$ masing-masing pusat lingkaran, berjari-jari $10 cm dan 17 cm$ . Panjang $EF = 16 cm$ . Tentukan luas daerah yang diarsir.

$\;\;$

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

luas daerah yang diarsir adalah 65 , 61 cm 2 .

luas daerah yang diarsir adalah

65, 61 cm^{2}

. $\;\;$

Pembahasan

Ingat, Cara menghitung luas daerah yang diarsir dari lingkaran yang beririsan dengan cara luas juring lingkaran dikurangiluas segitiga Luas juring lingkaran Luas Juring = = 36 0 ∘ Sudut Pusat × Luas Lingkaran 36 0 ∘ Sudut Pusat × π r 2 Keterangan: r jari-jari dan π = 7 22 atau 3 , 14 Sudut pusat dapat diperoleh menggunakan aturan sinus Aturan sinus Sin A a = Sin B b = Sin C c Luas segitiga Luas Segitiga = 2 1 × a × t Berdasarkan rumus-rumus tersebut, diperoleh perhitungan sebagai berikut Diketahui jari-jari lingkaran A dan B adalah 10 cm dan 17 cm , panjang EF = 16 cm ► Menghitung panjang AD menggunakan Teorema Pythagoras AD 2 AD AD AD AD = = = = = AE 2 − DE 2 1 0 2 − 8 2 100 − 64 36 6 ► Menghitung panjang BD menggunakan Teorema Pythagoras BD 2 BD BD BD BD = = = = = BE 2 − DE 2 1 7 2 − 8 2 289 − 64 225 15 ►Menghitung Luas Segitiga AEF L △ AEF = = = = 2 1 × EF × AD 2 1 × 16 × 6 8 × 6 48 cm 2 ►Menghitung Luas Segitiga BEF L △ BEF = = = = 2 1 × EF × BD 2 1 × 16 × 15 8 × 15 120 cm 2 ► Menghitung Sudut Pusat ∠ EAF ∠ EAF = ∠ EAD + ∠ DAF Karena ∠ DAF = ∠ EAD maka ∠ EAF = 2 × ∠ EAD Menghitung sudut ∠ EAD s i n D AE s i n 9 0 ∘ 10 1 10 10 sin A sin A ∠ A = = = = = = s i n A DE s i n A 8 s i n A 8 8 10 8 5 3 ∘ ∠ EAD = 5 3 ∘ , sehingga ∠ EAF = = = 2 × ∠ EAD 2 × 5 3 ∘ 10 6 ∘ ► Menghitung Sudut Pusat ∠ EBF ∠ EBF = ∠ EBD + ∠ DBF Karena ∠ DBF = ∠ EBD maka ∠ EAF = 2 × ∠ EBD Menghitung sudut ∠ EBD s i n D BE s i n 9 0 ∘ 17 1 17 17 sin B sin B ∠ B = = = = = = s i n B DE s i n B 8 s i n B 8 8 17 8 2 8 ∘ ∠ EBD = 2 8 ∘ , sehingga ∠ EBF = = = 2 × ∠ EBD 2 × 2 8 ∘ 5 6 ∘ ►Menghitung Luas Juring EAF L Juring EAF = = = = 36 0 ∘ ∠ EAF × π r 2 36 0 ∘ 10 6 ∘ × 3 , 14 × 10 × 10 180 53 × 314 92 , 45 cm 2 ►Menghitung Luas Juring EBF L Juring EBF = = = = 36 0 ∘ ∠ EBF × π r 2 36 0 ∘ 5 6 ∘ × 3 , 14 × 17 × 17 45 7 × 907 , 46 141 , 16 cm 2 ►Menghitung Luas Daerah yang Diarsir = = = = Luas Daerah Arsiran L Juring EAF − L △ AEF + L Juring EBF − L △ EBF 92 , 45 − 48 + 141 , 16 − 120 44 , 45 + 21 , 16 65 , 61 cm 2 Dengan demikian, luas daerah yang diarsir adalah 65 , 61 cm 2 .

Ingat,

Cara menghitung luas daerah yang diarsir dari lingkaran yang beririsan dengan cara luas juring lingkaran dikurangi luas segitiga

Luas juring lingkaran

$Luas Juring = = \frac{Sudut Pusat}{36 0 ^{\circ}} \times Luas Lingkaran \frac{Sudut Pusat}{36 0 ^{\circ}} \times π r^{2}$

Keterangan:

$r$ jari-jari dan $π = \frac{22}{7} atau 3, 14$

Sudut pusat dapat diperoleh menggunakan aturan sinus

Aturan sinus

$\frac{a}{Sin A} = \frac{b}{Sin B} = \frac{c}{Sin C}$

Luas segitiga

$Luas Segitiga = \frac{1}{2} \times a \times t$

Berdasarkan rumus-rumus tersebut, diperoleh perhitungan sebagai berikut

Diketahui jari-jari lingkaran $A dan B$ adalah $10 cm dan 17 cm$ , panjang $EF = 16 cm$

► Menghitung panjang $AD$ menggunakan Teorema Pythagoras

$AD^{2} AD AD AD AD = = = = = AE^{2} - DE^{2} 1 0^{2} - 8^{2} 100 - 64 366$

► Menghitung panjang $BD$ menggunakan Teorema Pythagoras

$BD^{2} BD BD BD BD = = = = = BE^{2} - DE^{2} 1 7^{2} - 8^{2} 289 - 64 22515$

►Menghitung Luas Segitiga $AEF$

$L_{△} AEF = = = = \frac{1}{2} \times EF \times AD \frac{1}{2} \times 16 \times 6 8 \times 6 48 cm^{2}$

►Menghitung Luas Segitiga $BEF$

$L_{△} BEF = = = = \frac{1}{2} \times EF \times BD \frac{1}{2} \times 16 \times 15 8 \times 15 120 cm^{2}$

► Menghitung Sudut Pusat $∠ EAF$

$∠ EAF = ∠ EAD + ∠ DAF Karena ∠ DAF = ∠ EAD maka ∠ EAF = 2 \times ∠ EAD$

Menghitung sudut $∠ EAD$

$\frac{AE}{s i n D} \frac{10}{s i n 9 0 ^{\circ}} \frac{10}{1} 10 sin A sin A ∠ A = = = = = = \frac{DE}{s i n A} \frac{8}{s i n A} \frac{8}{s i n A} 8 \frac{8}{10} 5 3^{\circ}$

$∠ EAD = 5 3^{\circ}$ , sehingga

$∠ EAF = = = 2 \times ∠ EAD 2 \times 5 3^{\circ} 10 6^{\circ}$

► Menghitung Sudut Pusat $∠ EBF$

$∠ EBF = ∠ EBD + ∠ DBF Karena ∠ DBF = ∠ EBD maka ∠ EAF = 2 \times ∠ EBD$

Menghitung sudut $∠ EBD$

$\frac{BE}{s i n D} \frac{17}{s i n 9 0 ^{\circ}} \frac{17}{1} 17 sin B sin B ∠ B = = = = = = \frac{DE}{s i n B} \frac{8}{s i n B} \frac{8}{s i n B} 8 \frac{8}{17} 2 8^{\circ}$

$∠ EBD = 2 8^{\circ}$ , sehingga

$∠ EBF = = = 2 \times ∠ EBD 2 \times 2 8^{\circ} 5 6^{\circ}$

►Menghitung Luas Juring $EAF$

$L_{Juring} EAF = = = = \frac{∠ EAF}{36 0 ^{\circ}} \times π r^{2} \frac{10 6 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}} \times 3, 14 \times 10 \times 10 \frac{53}{180} \times 314 92, 45 cm^{2}$

►Menghitung Luas Juring $EBF$

$L_{Juring} EBF = = = = \frac{∠ EBF}{36 0 ^{\circ}} \times π r^{2} \frac{5 6 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}} \times 3, 14 \times 17 \times 17 \frac{7}{45} \times 907, 46 141, 16 cm^{2}$

►Menghitung Luas Daerah yang Diarsir

$= = = = Luas Daerah Arsiran L_{Juring} EAF - L_{△} AEF + L_{Juring} EBF - L_{△} EBF 92, 45 - 48 + 141, 16 - 120 44, 45 + 21, 16 65, 61 cm^{2}$

Dengan demikian, luas daerah yang diarsir adalah $65, 61 cm^{2}$ . $\;\;$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Gambar berikut menunjukkan sebuah setengah lingkaran ABCD yang berpusat di D ( 6 , 0 ) . Titik P bergerak sedemikian sehingga PB = BC = BA . Tempat kedudukan titik P ialah lingkaran yang berpusat di B...

5.0

Jawaban terverifikasi

Pada gambar berikut, AOB adalah setengah lingkaran berpusat di D , dan AEB ialah busur lingkaran berpusat di C ( 10 , 11 ) . Persamaan garis AB diketahui 12 x + 16 y = 1 . Hitunglah: a. l...

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 76 = 0 dan lingkaran x 2 + y 2 − 22 x + 6 y + 94 = 0 . Tentukan luas irisan kedua lingkaran.

5.0

Jawaban terverifikasi

Suatu lingkaran yang memiliki panjang jari-jari 3 2 cm berpotongan denganlingkaran yang memiliki panjang jari-jari 6 cm . Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter ...

0.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan gambar berikut! Titik A dan B masing-masing pusat lingkaran berjari-jari 10 cm dan 17 cm. Jika panjang EF=16 cm dan π = 7 22 , maka panjang AB dan luas daerah arsiran berturut-turut...

5.0

Jawaban terverifikasi