Diketahui dua buah lingkaran memiliki panjang jari-jari yang sama. Lingkaran pertama dengan pusat (6, 8) menyinggung sumbu-y. Lingkaran kedua dengan pusat (0, 0) dan panjang jari-jari 12 satuan. Luas daerah irisan kedua lingkaran tersebut adalah … satuan luas. Catatan: arc cos(225113)≈60∘ dan arc cos(−225223)≈(−172)∘

Pertanyaan

Diketahui dua buah lingkaran memiliki panjang jari-jari yang sama. Lingkaran pertama dengan pusat $\style{font-size:14px}{\left(6,\;8\right)}$ menyinggung sumbu- $\style{font-size:14px}y$ . Lingkaran kedua dengan pusat $\style{font-size:14px}{\left(0,\;0\right)}$ dan panjang jari-jari 12 satuan. Luas daerah irisan kedua lingkaran tersebut adalah … satuan luas.

Catatan: $\style{font-size:14px}{\mathrm{arc}\;\cos\left(\frac{113}{225}\right)\approx60^\circ}$ dan $\style{font-size:14px}{\mathrm{arc}\;\cos\left(-\frac{223}{225}\right)\approx\left(-172\right)^\circ}$

R. RGFLSATU

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah C.

Pembahasan

Perhatikan sketsa dua buah lingkaran di bawah ini!

Lingkaran melalui pusat dan memiliki jari-jari 6 satuan. Oleh karena itu, memiliki persamaan sebagai berikut.

Lingkaran melalui pusat dan memiliki jari-jari 12 satuan. Oleh karena itu, memiliki persamaan sebagai berikut.

Kemudian dengan mengeliminasi kedua persamaan lingkaran di atas, maka diperoleh

Perhatikan gambar berikut!

Jarak pusat ke tali busur persekutuan TV dapat dihitung dengan cara berikut ini.

$begin mathsize 14px style d equals open vertical bar fraction numerator 3 open parentheses 0 close parentheses plus 4 open parentheses 0 close parentheses minus 52 over denominator square root of 3 squared plus 4 squared end root end fraction close vertical bar equals 52 over 5 end style$

Oleh karena itu, didapat

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row TO equals cell square root of open parentheses TP subscript 2 close parentheses squared minus d squared end root end cell row blank equals cell square root of 12 squared minus open parentheses 52 over 5 close parentheses squared end root end cell row blank equals cell square root of 144 minus fraction numerator 2.704 over denominator 25 end fraction end root end cell row blank equals cell square root of 896 over 25 end root end cell row blank equals cell 8 over 5 square root of 14 end cell end table end style$

Karena , maka didapat

Kemudian kita hitung besar sudut dengan menggunakan aturan cosinus pada segitiga .

Luas tembereng lingkaran yang dibatasi oleh (ungu) dengan tali busur TV adalah sebagai berikut.

$begin mathsize 14px style Luas blank juring space TP subscript 2 straight V blank minus Luas blank increment TP subscript 2 straight V equals open parentheses fraction numerator straight m straight angle TP subscript 2 straight V over denominator 360 degree end fraction cross times straight pi r subscript 2 superscript 2 close parentheses minus open parentheses 1 half cross times TV cross times d close parentheses equals open parentheses fraction numerator 60 degree over denominator 360 degree end fraction cross times 12 squared straight pi close parentheses minus open parentheses 1 half cross times 16 over 5 square root of 14 cross times 52 over 5 close parentheses equals open parentheses 1 over 6 cross times 144 straight pi close parentheses minus 416 over 25 square root of 14 equals 24 straight pi minus 416 over 25 square root of 14 end style$

Selanjutnya, hitung luas daerah yang merupakan luas daerah juring lingkaran kecil (daerah kuning).

Hitung yang dibatasi oleh jari-jari dan tali busur TV dengan aturan cosinus.

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos open parentheses TP subscript 1 straight V close parentheses end cell equals cell fraction numerator r subscript 1 superscript 2 plus r subscript 1 superscript 2 minus TV squared over denominator 2 times r subscript 1 times r subscript 1 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 6 squared plus 6 squared minus open parentheses 16 over 5 square root of 14 close parentheses squared over denominator 2 times 6 times 6 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 72 minus 3584 over 25 over denominator 72 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 1.800 minus 3584 over denominator 1.800 end fraction end cell row blank equals cell negative fraction numerator 1784 over denominator 1.800 end fraction end cell row blank equals cell negative 223 over 225 end cell row cell arc space cos open parentheses negative 223 over 225 close parentheses end cell almost equal to cell left parenthesis negative 172 right parenthesis degree end cell row cell straight m angle TP subscript 1 straight V end cell almost equal to cell 172 degree end cell end table end style$

Oleh karena itu, didapat

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight L subscript daerah blank kuning end subscript end cell equals cell fraction numerator 360 degree minus straight m angle TP subscript 1 straight V over denominator 360 degree end fraction cross times straight pi r subscript 1 superscript 2 end cell row blank equals cell fraction numerator 360 degree minus 172 degree over denominator 360 degree end fraction cross times straight pi r subscript 1 superscript 2 end cell row blank equals cell fraction numerator 188 degree over denominator 360 degree end fraction cross times straight pi cross times 6 squared end cell row blank equals cell 0 comma 52 cross times 36 straight pi end cell row blank equals cell 18 comma 72 straight pi end cell end table end style$

Dengan demikian, luas daerah irisan kedua lingkaran tersebut adalah sebagai berikut.

Error converting from MathML to accessible text.

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui persamaan lingkaran sebagai berikut. Salah satu persamaan garis singgung persekutuan dua lingkaran di atas adalah ….

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui dua buah lingkaran sebagai berikut. Persamaan garis singgung persekutuan yang terbentuk dari kedua lingkaran tersebut adalah ….

166

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui dua buah persamaan lingkaran sebagai berikut. Banyak persamaan garis singgung yang dapat dibuat dari kedua lingkaran tersebut adalah ….

0.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan dua persamaan lingkaran sebagai berikut. L1: x2+y2−2x−6y+1=0L2: x2+y2−10x−12y+47=0 Panjang tali busur persekutuan kedua lingkaran tersebut adalah … satuan.

0.0

Jawaban terverifikasi

Sebuah lingkaran dengan persamaan x2+y2−2x−4y−3=0 berpotongan dengan lingkaran yang berpusat di titik (3,2) dan jari-jari 2 satuan. Luas daerah perpotongan kedua lingkaran tersebut adalah … satuan lua...

0.0

Jawaban terverifikasi