RoboguruRoboguru
SD

Diketahui dua buah lingkaran memiliki panjang jari-jari yang sama. Lingkaran pertama dengan pusat (6, 8) menyinggung sumbu-y. Lingkaran kedua dengan pusat (0, 0) dan panjang jari-jari 12 satuan. Luas daerah irisan kedua lingkaran tersebut adalah … satuan luas. Catatan: arc cos(225113​)≈60∘ dan arc cos(−225223​)≈(−172)∘

Pertanyaan

Diketahui dua buah lingkaran memiliki panjang jari-jari yang sama. Lingkaran pertama dengan pusat begin mathsize 14px style open parentheses 6 comma space 8 close parentheses end style menyinggung sumbu-begin mathsize 14px style y end style. Lingkaran kedua dengan pusat begin mathsize 14px style open parentheses 0 comma space 0 close parentheses end style dan panjang jari-jari 12 satuan. Luas daerah irisan kedua lingkaran tersebut adalah … satuan luas.

Catatan: begin mathsize 14px style arc space cos open parentheses 113 over 225 close parentheses almost equal to 60 degree end style dan begin mathsize 14px style arc space cos open parentheses negative 223 over 225 close parentheses almost equal to open parentheses negative 172 close parentheses degree end style

  1. Error converting from MathML to accessible text.

  2. Error converting from MathML to accessible text.

  3. Error converting from MathML to accessible text.

  4. begin mathsize 14px style 60 , 52 straight pi minus 360 over 25 square root of 14 end style

  5. begin mathsize 14px style 76 comma 72 straight pi minus 360 over 225 square root of 14 end style

R. RGFLSATU

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah C.

Pembahasan

Perhatikan sketsa dua buah lingkaran di bawah ini!

Lingkaran begin mathsize 14px style straight L subscript 1 end style melalui pusat begin mathsize 14px style open parentheses 6 comma space 8 close parentheses end style dan memiliki jari-jari 6 satuan. Oleh karena itu, begin mathsize 14px style straight L subscript 1 end style memiliki persamaan sebagai berikut.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell open parentheses x minus 6 close parentheses squared plus open parentheses x minus 8 close parentheses squared end cell equals cell 6 squared end cell row cell x squared minus 12 x plus 36 plus y squared minus 16 y plus 64 end cell equals 36 row cell x squared plus y squared minus 12 x minus 16 y plus 64 end cell equals 0 row blank blank blank end table end style

Lingkaran begin mathsize 14px style straight L subscript 2 end style melalui pusat begin mathsize 14px style open parentheses 0 comma space 0 close parentheses end style dan memiliki jari-jari 12 satuan. Oleh karena itu, begin mathsize 14px style straight L subscript 2 end style memiliki persamaan sebagai berikut.

begin mathsize 14px style open parentheses x minus 0 close parentheses squared plus open parentheses x minus 0 close parentheses squared equals 12 squared x squared plus y squared minus 144 equals 0 end style

Kemudian dengan mengeliminasi kedua persamaan lingkaran di atas, maka diperoleh

begin mathsize 14px style space space space space space space space space space space space space space space space space space x squared plus y squared minus 144 equals 0 bottom enclose x squared plus y squared minus 12 x minus 16 y plus 64 equals 0 blank minus end enclose space space space space space space space space space space space space 12 x plus 16 y minus 208 equals 0 blank open parentheses divided by 4 close parentheses space space space space space space space space space space space space space space space space space space 3 x plus 4 y minus 52 equals 0 end style

Perhatikan gambar berikut!

Jarak pusat begin mathsize 14px style straight L subscript 2 end style ke tali busur persekutuan TV dapat dihitung dengan cara berikut ini.

begin mathsize 14px style d equals open vertical bar fraction numerator 3 open parentheses 0 close parentheses plus 4 open parentheses 0 close parentheses minus 52 over denominator square root of 3 squared plus 4 squared end root end fraction close vertical bar equals 52 over 5 end style

Oleh karena itu, didapat

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row TO equals cell square root of open parentheses TP subscript 2 close parentheses squared minus d squared end root end cell row blank equals cell square root of 12 squared minus open parentheses 52 over 5 close parentheses squared end root end cell row blank equals cell square root of 144 minus fraction numerator 2.704 over denominator 25 end fraction end root end cell row blank equals cell square root of 896 over 25 end root end cell row blank equals cell 8 over 5 square root of 14 end cell end table end style

Karena begin mathsize 14px style TV equals 2 cross times TO end style, maka didapat

begin mathsize 14px style TV equals 2 cross times 8 over 5 square root of 14 equals 16 over 5 square root of 14 end style

Kemudian kita hitung besar sudut begin mathsize 14px style TP subscript 2 straight V end style dengan menggunakan aturan cosinus pada segitiga begin mathsize 14px style TP subscript 2 straight V end style.

 begin mathsize 12px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell left parenthesis TV right parenthesis squared end cell equals cell open parentheses TP subscript 2 close parentheses squared plus open parentheses VP subscript 2 close parentheses squared minus 2 open parentheses TP subscript 2 close parentheses open parentheses VP subscript 2 close parentheses cos open parentheses TP subscript 2 straight V close parentheses end cell row cell open parentheses 16 over 5 square root of 14 close parentheses squared end cell equals cell 12 squared plus 12 squared minus 2 times 12 times 12 times cos open parentheses TP subscript 2 straight V close parentheses end cell row cell 3584 over 25 end cell equals cell 144 plus 144 minus 288 times cos open parentheses TP subscript 2 straight V close parentheses end cell row cell 3584 over 25 end cell equals cell 288 minus 288 cos open parentheses TP subscript 2 straight V close parentheses end cell row cell 288 cos open parentheses TP subscript 2 straight V close parentheses end cell equals cell 288 minus 3584 over 25 end cell row cell 288 cos open parentheses TP subscript 2 straight V close parentheses end cell equals cell 7200 over 25 minus 3584 over 25 end cell row cell 288 cos open parentheses TP subscript 2 straight V close parentheses end cell equals cell 3616 over 25 end cell row cell cos open parentheses TP subscript 2 straight V close parentheses end cell equals cell 3616 over 7200 end cell row cell cos open parentheses TP subscript 2 straight V close parentheses end cell equals cell 113 over 225 end cell row cell arc space cos open parentheses 113 over 225 close parentheses end cell almost equal to cell 60 degree end cell row cell straight m angle TP subscript 2 straight V end cell almost equal to cell 60 degree end cell end table end style

Luas tembereng lingkaran yang dibatasi oleh begin mathsize 14px style straight L subscript 2 end style (ungu) dengan tali busur TV adalah sebagai berikut.

begin mathsize 14px style Luas blank juring space TP subscript 2 straight V blank minus Luas blank increment TP subscript 2 straight V equals open parentheses fraction numerator straight m straight angle TP subscript 2 straight V over denominator 360 degree end fraction cross times straight pi r subscript 2 superscript 2 close parentheses minus open parentheses 1 half cross times TV cross times d close parentheses equals open parentheses fraction numerator 60 degree over denominator 360 degree end fraction cross times 12 squared straight pi close parentheses minus open parentheses 1 half cross times 16 over 5 square root of 14 cross times 52 over 5 close parentheses equals open parentheses 1 over 6 cross times 144 straight pi close parentheses minus 416 over 25 square root of 14 equals 24 straight pi minus 416 over 25 square root of 14 end style

Selanjutnya, hitung luas daerah yang merupakan luas daerah juring lingkaran kecil (daerah kuning).

Hitung begin mathsize 14px style straight m straight angle TP subscript 1 straight V end style yang dibatasi oleh jari-jari begin mathsize 14px style straight L subscript 1 end style dan tali busur TV dengan aturan cosinus.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos open parentheses TP subscript 1 straight V close parentheses end cell equals cell fraction numerator r subscript 1 superscript 2 plus r subscript 1 superscript 2 minus TV squared over denominator 2 times r subscript 1 times r subscript 1 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 6 squared plus 6 squared minus open parentheses 16 over 5 square root of 14 close parentheses squared over denominator 2 times 6 times 6 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 72 minus 3584 over 25 over denominator 72 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 1.800 minus 3584 over denominator 1.800 end fraction end cell row blank equals cell negative fraction numerator 1784 over denominator 1.800 end fraction end cell row blank equals cell negative 223 over 225 end cell row cell arc space cos open parentheses negative 223 over 225 close parentheses end cell almost equal to cell left parenthesis negative 172 right parenthesis degree end cell row cell straight m angle TP subscript 1 straight V end cell almost equal to cell 172 degree end cell end table end style

Oleh karena itu, didapat

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight L subscript daerah blank kuning end subscript end cell equals cell fraction numerator 360 degree minus straight m angle TP subscript 1 straight V over denominator 360 degree end fraction cross times straight pi r subscript 1 superscript 2 end cell row blank equals cell fraction numerator 360 degree minus 172 degree over denominator 360 degree end fraction cross times straight pi r subscript 1 superscript 2 end cell row blank equals cell fraction numerator 188 degree over denominator 360 degree end fraction cross times straight pi cross times 6 squared end cell row blank equals cell 0 comma 52 cross times 36 straight pi end cell row blank equals cell 18 comma 72 straight pi end cell end table end style

Dengan demikian, luas daerah irisan kedua lingkaran tersebut adalah sebagai berikut.

Error converting from MathML to accessible text.

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

39

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui persamaan lingkaran sebagai berikut. Salah satu persamaan garis singgung persekutuan dua lingkaran di atas adalah ….

43

0.0

Jawaban terverifikasi

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Download di Google PlayDownload di AppstoreDownload di App Gallery

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ruangguru WhatsApp

081578200000

Email info@ruangguru.com

info@ruangguru.com

Contact 02140008000

02140008000

Ikuti Kami

©2022 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia