Garis yang menyinggung lingkaran x 2 + y 2 + 4 x − 10 y + 13 = 0 adalah ....

Pembahasan

Kedudukan garis y = m x + n terhadap lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 yaitu: Jika D > 0 , maka garis memotong lingkaran di dua titik berlainan. Jika D = 0 , maka garis menyinggung lingkaran. Jika D < 0 , maka garis tidak memotong lingkaran. Dengan D = b 2 − 4 a c yang merupakan diskriminan persamaan kuadrat hasil substitusi garis y = m x + n ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 . Diketahui: persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 4 x − 10 y + 13 = 0 . Penyelesaian soal di atas yaitu: a. Untuk garis y − 4 = 0 ↔ y = 4 , substitustikan ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 4 x − 10 y + 13 = 0 , sebagai berikut. x 2 + y 2 + 4 x − 10 y + 13 x 2 + 4 2 + 4 x − 10 ( 4 ) + 13 x 2 + 16 + 4 x − 40 + 13 x 2 + 4 x − 11 ​ = = = = ​ 0 0 0 0 ​ Nilai diskriminan: b 2 − 4 a c ​ = = = ​ 4 2 − 4 ( 1 ) ( − 11 ) 16 + 44 60 ​ Nilai D > 0 sehinggagaris y − 4 = 0 memotong lingkaran x 2 + y 2 + 4 x − 10 y + 13 = 0 . b.Untuk garis x − 2 = 0 ↔ x = 2 , substitustikan ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 4 x − 10 y + 13 = 0 , sebagai berikut. x 2 + y 2 + 4 x − 10 y + 13 2 2 + y 2 + 4 ( 2 ) − 10 y + 13 4 + y 2 + 8 − 10 y + 13 y 2 − 10 y + 25 ​ = = = = ​ 0 0 0 0 ​ Nilai diskriminan: b 2 − 4 a c ​ = = = ​ ( − 10 ) 2 − 4 ( 1 ) ( 25 ) 100 − 100 0 ​ Nilai D = 0 sehinggagaris x − 2 = 0 menyinggung lingkaran x 2 + y 2 + 4 x − 10 y + 13 = 0 . c.Untuk garis 2 x − 5 y − 12 = 0 , substitustikan ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 4 x − 10 y + 13 = 0 , sebagai berikut. Garis 2 x − 5 y − 12 = 0 dapat dituliskan: 2 x − 5 y − 12 2 x x ​ = = = ​ 0 5 y + 12 2 5 y + 12 ​ ​ Substitusikan ke persamaan lingkaran. x 2 + y 2 + 4 x − 10 y + 13 ( 2 5 y + 12 ​ ) 2 + y 2 + 4 ( 2 5 y + 12 ​ ) − 10 y + 13 4 25 y 2 + 120 y + 144 ​ + y 2 + 10 y + 24 − 10 y + 13 4 25 y 2 + 120 y + 144 ​ + y 2 + 37 25 y 2 + 120 y + 144 + 4 y 2 + 148 29 y 2 + 120 y + 292 ​ = = = = = = ​ 0 0 0 0 ( × 4 ) 0 0 ​ Nilai diskriminannya: b 2 − 4 a c ​ = = = ​ ( 120 ) 2 − 4 ( 29 ) ( 292 ) 14400 − 33872 − 19472 ​ Nilai D < 0 sehinggagaris 2 x − 5 y − 12 = 0 tidakmemotong lingkaran x 2 + y 2 + 4 x − 10 y + 13 = 0 d.Untuk garis x + 3 y − 5 = 0 , substitustikan ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 4 x − 10 y + 13 = 0 , sebagai berikut. Garis x + 3 y − 5 = 0 dapat dituliskan: x + 3 y − 5 x ​ = = ​ 0 5 − 3 y ​ Substitusikan ke persamaan lingkaran. x 2 + y 2 + 4 x − 10 y + 13 ( 5 − 3 y ) 2 + y 2 + 4 ( 5 − 3 y ) − 10 y + 13 25 − 30 y + 9 y 2 + y 2 + 20 − 12 y − 10 y + 13 10 y 2 − 52 y + 58 ​ = = = = ​ 0 0 0 0 ​ Nilai diskriminannya: b 2 − 4 a c ​ = = = ​ ( − 52 ) 2 − 4 ( 10 ) ( 58 ) 2704 − 2320 384 ​ Nilai D > 0 sehinggagaris x + 3 y − 5 = 0 memotong lingkaran x 2 + y 2 + 4 x − 10 y + 13 = 0 e.Untuk garis − 2 x + 2 y − 13 = 0 , substitustikan ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 4 x − 10 y + 13 = 0 , sebagai berikut. Garis − 2 x + 2 y − 13 = 0 dapat dituliskan: − 2 x + 2 y − 13 − 2 x 2 x x ​ = = = = ​ 0 − 2 y + 13 2 y − 13 2 2 y − 13 ​ ​ Substitusikan ke persamaan lingkaran. x 2 + y 2 + 4 x − 10 y + 13 ( 2 2 y − 13 ​ ) 2 + y 2 + 4 ( 2 2 y − 13 ​ ) − 10 y + 13 4 4 y 2 − 52 y + 169 ​ + y 2 + 4 y − 26 − 10 y + 13 4 4 y 2 − 52 y + 169 ​ + y 2 − 6 y − 13 4 y 2 − 52 y + 169 + 4 y 2 − 24 y − 52 8 y 2 − 76 y + 117 ​ = = = = = = ​ 0 0 0 0 ( × 4 ) 0 0 ​ Nilai diskriminannya: b 2 − 4 a c ​ = = = ​ ( − 76 ) 2 − 4 ( 8 ) ( 117 ) 5776 − 3744 2032 ​ Nilai D > 0 sehinggagaris − 2 x + 2 y − 13 = 0 memotong lingkaran x 2 + y 2 + 4 x − 10 y + 13 = 0 . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah B.