Buktikan bahwa garis x + 3 y + 1 = 0 menyinggung lingkaran x 2 + y 2 + 10 x + 4 y + 19 = 0 dan tentukan titik singgungnya.

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah Terbukti garis x + 3 y + 1 = 0 menyinggung lingkaran x 2 + y 2 + 10 x + 4 y + 19 = 0 dengan titik singgung ( − 4 , 1 ) . Ingat! Garis a x + b y + c = 0 menyinggung lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 jika nilai diskriminan atau D = 0 . Dimana pada persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0 , maka nilai diskriminan adalah D = b 2 − 4 a c Untuk membuktikan garis x + 3 y + 1 = 0 menyinggung lingkaran x 2 + y 2 + 10 x + 4 y + 19 = 0 , kita ubah dulu bentuk persamaan garisnya menjadi. x + 3 y + 1 x ​ = = ​ 0 − 3 y − 1 ​ Kemudian substitusi nilai x ke persamaan lingkaran. x 2 + y 2 + 10 x + 4 y + 19 ( − 3 y − 1 ) 2 + y 2 + 10 ( − 3 y − 1 ) + 4 y + 19 9 y 2 + 6 y + 1 + y 2 − 30 y − 10 + 4 y + 19 10 y 2 − 20 y + 10 y 2 − 2 y + 1 ​ = = = = = ​ 0 0 0 0 0 ​ Nilai diskriminannya D ​ = = = = ​ b 2 − 4 a c ( − 2 ) 2 − 4 ( 1 ) ( 1 ) 4 − 4 0 ​ Karena nilai D = 0 , dengan demikian terbuktigaris x + 3 y + 1 = 0 menyinggung lingkaran x 2 + y 2 + 10 x + 4 y + 19 = 0 Untuk menentukan titik singgung kita faktorkan persamaan y 2 − 2 y + 1 = 0 didapat y 2 − 2 y + 1 ( y − 1 ) ( y − 1 ) ​ = = ​ 0 0 ​ Diperoleh nilai y − 1 y ​ = = ​ 0 1 ​ Selanjutnya substitusi y = 1 ke x = − 3 y − 1 jadi x ​ = = = ​ − 3 ( 1 ) − 1 − 3 − 1 − 4 ​ Dengan demikian, didapat titik singgungnya adalah ( − 4 , 1 ) .