Pertanyaan

Persamaan lingkaran L ≡ x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + k = 0 . Buktikan bahwa k < 13 : a. jika jari-jari lingkaran = 6, berapa nilai k ? b. agar garis y = 2 x + 17 menyinggung lingkaran tersebut, berapa nilai k ?

Persamaan lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + k = 0$ . Buktikan bahwa $k < 13$ :

a. jika jari-jari lingkaran = 6, berapa nilai $k$ ?

b. agar garis $y = 2 x + 17$ menyinggung lingkaran tersebut, berapa nilai $k$ ?

P. Tessalonika

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Medan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

agar garis y = 2 x + 17 menyinggung lingkaran tersebut maka nilai k = 7 ( k < 13 ) .

agar garis

y = 2 x + 17

menyinggung lingkaran tersebut maka nilai

k = 7

(k < 13)

Pembahasan

Soal a. Diketahui L ≡ x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + k = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna maka diperoleh : x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + k x 2 + 4 x + y 2 − 6 y + k ( x + 2 ) 2 − 4 + ( y − 3 ) 2 − 9 + k ( x + 2 ) 2 + ( y − 3 ) 2 − 13 + k ( x + 2 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = = = = = 0 0 0 0 13 − k Diperoleh bahwa lingkaran tersebut berpusat di ( − 2 , 3 ) dengan r 2 = 13 − k . Jika jari-jari lingkaran = 6 maka diperoleh : r 2 6 2 36 k k = = = = = 13 − k 13 − k 13 − k 13 − 36 − 23 Dengan demikian, nilai k adalah − 23 ( k < 13 ) . Soal b. Diketahui garis y = 2 x + 17 menyinggung lingkaran tersebut maka D = 0 . Terlebih dahulu substitusi persamaan garis pada persamaan lingkaran. x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + k x 2 + ( 2 x + 17 ) 2 + 4 x − 6 ( 2 x + 17 ) + k x 2 + 4 x 2 + 68 x + 289 + 4 x − 12 x − 102 + k 5 x 2 + 60 x + 187 + k = = = = 0 0 0 0 Diperoleh a = 5 , b = 60 dan c = 187 − k . D b 2 − 4 a c 6 0 2 − 4 ( 5 ) ( 187 − k ) 3600 − 3740 + 20 k − 140 + 20 k 20 k k k = = = = = = = = 0 0 0 0 0 140 20 140 7 Dengan demikian,agar garis y = 2 x + 17 menyinggung lingkaran tersebut maka nilai k = 7 ( k < 13 ) .

Soal a.

Diketahui $L \equiv x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + k = 0$ dengan melengkapkan kuadrat sempurna maka diperoleh :

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + k x^{2} + 4 x + y^{2} - 6 y + k (x + 2)^{2} - 4 + (y - 3)^{2} - 9 + k (x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} - 13 + k (x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = = = = = 0000 13 - k$

Diperoleh bahwa lingkaran tersebut berpusat di $(- 2, 3)$ dengan $r^{2} = 13 - k$ . Jika jari-jari lingkaran = 6 maka diperoleh :

$r^{2} 6^{2} 36 k k = = = = = 13 - k 13 - k 13 - k 13 - 36 - 23$

Dengan demikian, nilai $k$ adalah $- 23$ $(k < 13)$ .

Soal b.

Diketahui garis $y = 2 x + 17$ menyinggung lingkaran tersebut maka $D = 0$ . Terlebih dahulu substitusi persamaan garis pada persamaan lingkaran.

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + k x^{2} + (2 x + 17)^{2} + 4 x - 6 (2 x + 17) + k x^{2} + 4 x^{2} + 68 x + 289 + 4 x - 12 x - 102 + k 5 x^{2} + 60 x + 187 + k = = = = 0000$

Diperoleh $a = 5$ , $b = 60$ dan $c = 187 - k$ .

$D b^{2} - 4 a c 6 0^{2} - 4 (5) (187 - k) 3600 - 3740 + 20 k - 140 + 20 k 20 k k k = = = = = = = = 00000140 \frac{140}{20} 7$

Dengan demikian, agar garis $y = 2 x + 17$ menyinggung lingkaran tersebut maka nilai $k = 7$ $(k < 13)$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Lingkaran x 2 + y 2 − 2 p x + q = 0 yang mempunyai jari-jari 2 akan menyinggung garis y = x , nilai yang positif sama dengan ....

4.8

Jawaban terverifikasi

Lingkaran x 2 + y 2 − 2 p x + q = 0 yang mempunyai jari-jari 2 akan menyinggung garis y = x , nilai yang positif sama dengan ....

4.8

Jawaban terverifikasi

Lingkaran dengan persamaan x 2 + y 2 − 2 a x + b = 0 , a > 0 dan lingkaran berjari-jari 2 akan menyinggung garis x = y , jika sama dengan ....

4.8

Jawaban terverifikasi

Lingkaran dengan persamaan x 2 + y 2 − 2 a x + b = 0 , a > 0 dan lingkaran berjari-jari 2 akan menyinggung garis x = y , jika sama dengan ....

4.8

Jawaban terverifikasi

Tunjukkan bahwa garis 2 x − 3 y + 26 = 0 adalah garis tangen lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 104 = 0 . Lalu, tentukan persamaandiameter lingkaran yang melalui titiksinggung di atas.

0.0

Jawaban terverifikasi