Persamaan lingkaran L ≡ x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + k = 0 . Buktikan bahwa k < 13 : a. jika jari-jari lingkaran = 6, berapa nilai k ? b. agar garis y = 2 x + 17 menyinggung lingkaran tersebut, berapa nilai k ?

Pembahasan

Soal a. Diketahui L ≡ x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + k = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna maka diperoleh : x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + k x 2 + 4 x + y 2 − 6 y + k ( x + 2 ) 2 − 4 + ( y − 3 ) 2 − 9 + k ( x + 2 ) 2 + ( y − 3 ) 2 − 13 + k ( x + 2 ) 2 + ( y − 3 ) 2 ​ = = = = = ​ 0 0 0 0 13 − k ​ Diperoleh bahwa lingkaran tersebut berpusat di ( − 2 , 3 ) dengan r 2 = 13 − k . Jika jari-jari lingkaran = 6 maka diperoleh : r 2 6 2 36 k k ​ = = = = = ​ 13 − k 13 − k 13 − k 13 − 36 − 23 ​ Dengan demikian, nilai k adalah − 23 ( k < 13 ) . Soal b. Diketahui garis y = 2 x + 17 menyinggung lingkaran tersebut maka D = 0 . Terlebih dahulu substitusi persamaan garis pada persamaan lingkaran. x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + k x 2 + ( 2 x + 17 ) 2 + 4 x − 6 ( 2 x + 17 ) + k x 2 + 4 x 2 + 68 x + 289 + 4 x − 12 x − 102 + k 5 x 2 + 60 x + 187 + k ​ = = = = ​ 0 0 0 0 ​ Diperoleh a = 5 , b = 60 dan c = 187 − k . D b 2 − 4 a c 6 0 2 − 4 ( 5 ) ( 187 − k ) 3600 − 3740 + 20 k − 140 + 20 k 20 k k k ​ = = = = = = = = ​ 0 0 0 0 0 140 20 140 ​ 7 ​ Dengan demikian,agar garis y = 2 x + 17 menyinggung lingkaran tersebut maka nilai k = 7 ( k < 13 ) .