Garis yang memotong lingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 6 y − 15 = 0 adalah ...

Pembahasan

Kedudukan garis y = m x + n terhadap lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 yaitu: Jika D > 0 , maka garis memotong lingkaran di dua titik berlainan. Jika D = 0 , maka garis menyinggung lingkaran. Jika D < 0 , maka garis tidak memotong lingkaran. Dengan D = b 2 − 4 a c yang merupakan diskriminan persamaan kuadrat hasil substitusi garis y = m x + n ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 . Diketahui: persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 6 y − 15 = 0 . Penyelesaian soal di atas yaitu: a. Untuk garis y + 4 = 0 ↔ y = − 4 , substitustikan ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 6 y − 15 = 0 , sebagai berikut. x 2 + y 2 − 2 x + 6 y − 15 x 2 + ( − 4 ) 2 − 2 x + 6 ( − 4 ) − 15 x 2 + 16 − 2 x − 24 − 15 x 2 − 2 x − 23 ​ = = = = ​ 0 0 0 0 ​ Nilai diskriminan: b 2 − 4 a c ​ = = = ​ ( − 2 ) 2 − 4 ( 1 ) ( − 23 ) 4 + 92 96 ​ Nilai D > 0 sehinggagaris y + 4 = 0 memotong lingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 6 y − 15 = 0 . b.Untuk garis x − 2 = 0 ↔ x = 2 , substitustikan ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 6 y − 15 = 0 , sebagai berikut. x 2 + y 2 − 2 x + 6 y − 15 2 2 + y 2 − 2 ( 2 ) + 6 y − 15 4 + y 2 − 4 + 6 y − 15 y 2 + 6 y − 15 ​ = = = = ​ 0 0 0 0 ​ Nilai diskriminan: b 2 − 4 a c ​ = = = ​ ( 6 ) 2 − 4 ( 1 ) ( − 15 ) 26 + 60 86 ​ Nilai D > 0 sehinggagaris x − 2 = 0 memotong lingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 6 y − 15 = 0 . c.Untuk garis 2 x − 5 y − 12 = 0 , substitustikan ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 6 y − 15 = 0 , sebagai berikut. Garis 2 x − 5 y − 12 = 0 dapat dituliskan: 2 x − 5 y − 12 2 x x ​ = = = ​ 0 5 y + 12 2 5 y + 12 ​ ​ Substitusikan ke persamaan lingkaran. x 2 + y 2 − 2 x + 6 y − 15 ( 2 5 y + 12 ​ ) 2 + y 2 − 2 ( 2 5 y + 12 ​ ) + 6 y − 15 5 5 y 2 + 120 y + 144 ​ + y 2 − 5 y − 12 + 6 y − 15 5 5 y 2 + 120 y + 144 ​ + y 2 + y − 27 5 y 2 + 120 y + 144 + 5 y 2 + 5 y − 135 10 y 2 + 125 y + 9 ​ = = = = = = ​ 0 0 0 0 ( × 5 ) 0 0 ​ Nilai diskriminannya: b 2 − 4 a c ​ = = = ​ ( 125 ) 2 − 4 ( 10 ) ( 9 ) 15625 − 360 15265 ​ Nilai D > 0 sehinggagaris 2 x − 5 y − 12 = 0 memotong lingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 6 y − 15 = 0 d.Untuk garis x + 3 y − 5 = 0 , substitustikan ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 6 y − 15 = 0 , sebagai berikut. Garis x + 3 y − 5 = 0 dapat dituliskan: x + 3 y − 5 x ​ = = ​ 0 5 − 3 y ​ Substitusikan ke persamaan lingkaran. x 2 + y 2 − 2 x + 6 y − 15 ( 5 − 3 y ) 2 + y 2 − 2 ( 5 − 3 y ) + 6 y − 15 25 − 30 y + 9 y 2 + y 2 − 10 + 6 y + 6 y − 15 10 y 2 − 18 y ​ = = = = ​ 0 0 0 0 ​ Nilai diskriminannya: b 2 − 4 a c ​ = = ​ ( − 18 ) 2 − 4 ( 10 ) ( 0 ) 324 ​ Nilai D > 0 sehinggagaris x + 3 y − 5 = 0 memotong lingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 6 y − 15 = 0 e.Untuk garis − 2 x + 2 y − 13 = 0 , substitustikan ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 6 y − 15 = 0 , sebagai berikut. Garis − 2 x + 2 y − 13 = 0 dapat dituliskan: − 2 x + 2 y − 13 − 2 x 2 x x ​ = = = = ​ 0 − 2 y + 13 2 y − 13 2 2 y − 13 ​ ​ Substitusikan ke persamaan lingkaran. x 2 + y 2 − 2 x + 6 y − 15 ( 2 2 y − 13 ​ ) 2 + y 2 − 2 ( 2 2 y − 13 ​ ) + 6 y − 15 4 4 y 2 − 52 y + 169 ​ + y 2 − 2 y + 13 + 6 y − 15 4 4 y 2 − 52 y + 169 ​ + y 2 + 4 y − 2 4 y 2 − 52 y + 169 + 4 y 2 + 16 y − 8 8 y 2 − 36 y + 161 ​ = = = = = = ​ 0 0 0 0 ( × 4 ) 0 0 ​ Nilai diskriminannya: b 2 − 4 a c ​ = = = ​ ( − 36 ) 2 − 4 ( 8 ) ( 161 ) 1296 − 5152 − 3862 ​ Nilai D < 0 sehinggagaris − 2 x + 2 y − 13 = 0 tidak memotong lingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 6 y − 15 = 0 . Pertanyaan di atas yaitu untuk menentukan garis yang memotong pada lingkaran sehingga opsinya yang benar adalah A, B, C, dan D. Sedangkan di asumsikan pertanyaannya yaitu garis yang tidak memotong lingkaran sehingga opsi yang benar adalah E. Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah E.