Pertanyaan

Garis y = x + p menyinggung lingkaran x 2 + y 2 − 25 = 0 , tentukan nilai !

Garis $y = x + p$ menyinggung lingkaran $x^{2} + y^{2} - 25 = 0$ , tentukan nilai $p$ !

Y. Herlanda

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni STKIP PGRI Jombang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

diperoleh nilai p = 5 2 atau p = − 5 2 .

diperoleh nilai

p = 52

atau

p = - 52

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalahnilai p = 5 2 atau p = − 5 2 . Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m Sebuah garis yang mempunyai gradien m dan melalui titik ( 0 , c ) dinyatakan dengan rumus y = m x + c . Jika garis tersebut menyinggung lingkaran x 2 + y 2 = r 2 , maka nilai dapat diperoleh dengan mensubstitusikan y = m x + c ke dalam persamaan x 2 + y 2 = r 2 . Substitusi y = x + p ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 25 = 0 : x 2 + y 2 − 25 x 2 + y 2 x 2 + ( x + p ) 2 x 2 + ( x + p ) ( x + p ) x 2 + x 2 + x p + x p + p 2 − 25 2 x 2 + 2 p x + p 2 − 25 = = = = = = 0 25 25 25 0 0 Syarat menyinggung: D = 0 . Ingat bahwa D = b 2 − 4 a c , maka: a = 2 b = 2 p c = p 2 − 25 Substitusi ke D = b 2 − 4 a c , diperoleh: D 0 0 0 0 4 p 2 p 2 p = = = = = = = = = = b 2 − 4 a c ( 2 p ) 2 − 4 ( 2 ) ( p 2 − 25 ) 4 p 2 − 8 ( p 2 − 25 ) 4 p 2 − 8 p 2 + 200 − 4 p 2 + 200 200 50 ± 50 ± 25 × 2 ± 5 2 Dengan demikian, diperoleh nilai p = 5 2 atau p = − 5 2 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah nilai $p = 52$ atau $p = - 52$ .

Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien $m$

Sebuah garis yang mempunyai gradien $m$ dan melalui titik $(0, c)$ dinyatakan dengan rumus $y = m x + c$ . Jika garis tersebut menyinggung lingkaran $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ , maka nilai $c$ dapat diperoleh dengan mensubstitusikan $y = m x + c$ ke dalam persamaan $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ .

Substitusi $y = x + p$ ke persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} - 25 = 0$ :

$x^{2} + y^{2} - 25 x^{2} + y^{2} x^{2} + (x + p)^{2} x^{2} + (x + p) (x + p) x^{2} + x^{2} + x p + x p + p^{2} - 25 2 x^{2} + 2 p x + p^{2} - 25 = = = = = = 025252500$

Syarat menyinggung: $D = 0$ .

Ingat bahwa $D = b^{2} - 4 a c$ , maka:

$a = 2 b = 2 p c = p^{2} - 25$

Substitusi ke $D = b^{2} - 4 a c$ , diperoleh:

$D 0000 4 p^{2} p^{2} p = = = = = = = = = = b^{2} - 4 a c (2 p)^{2} - 4 (2) (p^{2} - 25) 4 p^{2} - 8 (p^{2} - 25) 4 p^{2} - 8 p^{2} + 200 - 4 p^{2} + 200 20050 \pm 50 \pm 25 \times 2 \pm 52$