Pertanyaan

Garis g menyinggung grafik fungsi f ( x ) = cos ( 2 x − 3 π ) sin ( x − 3 2 π ) di titik berabsis x = 3 2 π . Persamaan garis adalah ....

Garis $g$ menyinggung grafik fungsi $f (x) = \frac{sin ( x - \frac{2 π}{3} )}{cos ( \frac{x}{2} - \frac{π}{3} )}$ di titik berabsis $x = \frac{2 π}{3}$ . Persamaan garis adalah ....

$y equals 2 x minus fraction numerator 2 straight pi over denominator 3 end fraction$
$y equals x minus fraction numerator 2 straight pi over denominator 3 end fraction$

W. Rohmiyati

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Langlangbuana

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah C.

Pembahasan

Garis g menyinggung grafik f ( x ) , maka untuk memperoleh nilai gradien garis g yaitu m = f ′ ( x ) . Untuk mencari turunan dari fungsi f ( x ) gunakan aturan pembagian turunanberikut ini: f ( x ) = v u f ′ ( x ) = v 2 u ′ v − u v ′ Diberikan soal f ( x ) = cos ( 2 x − 3 π ) sin ( x − 3 2 π ) , maka penyelesaian dari soal di atas yaitu: u u ′ v v ′ = = = = sin ( x − 3 2 π ) cos ( x − 3 2 π ) cos ( 2 x − 3 π ) − 2 1 sin ( 2 x − 3 π ) Sehingga diperoleh: f ′ ( x ) = = = v 2 u ′ v − u v ′ ( c o s ( 2 x − 3 π ) ) 2 c o s ( x − 3 2 π ) ⋅ c o s ( 2 x − 3 π ) − s i n ( x − 3 2 π ) ⋅− 2 1 s i n ( 2 x − 3 π ) c o s 2 ( 2 x − 3 π ) c o s ( x − 3 2 π ) ⋅ c o s ( 2 x − 3 π ) + 2 1 ⋅ s i n ( x − 3 2 π ) ⋅ s i n ( 2 x − 3 π ) Garis g menyinggung di absis x = 3 2 π , maka substitusikan titik absis nya pada f ′ ( x ) untuk memperoleh gradien. f ′ ( x ) f ′ ( 3 2 π ) m = = = = = = = c o s 2 ( 2 x − 3 π ) c o s ( x − 3 2 π ) ⋅ c o s ( 2 x − 3 π ) + 2 1 ⋅ s i n ( x − 3 2 π ) ⋅ s i n ( 2 x − 3 π ) c o s 2 ⎝ ⎛ 2 3 2 π − 3 π ⎠ ⎞ c o s ( 3 2 π − 3 2 π ) ⋅ c o s ⎝ ⎛ 2 3 2 π − 3 π ⎠ ⎞ + 2 1 ⋅ s i n ( 3 2 π − 3 2 π ) ⋅ s i n ⎝ ⎛ 2 3 2 π − 3 π ⎠ ⎞ c o s 2 ( 3 π − 3 π ) c o s ( 0 ) ⋅ c o s ( 3 π − 3 π ) + 2 1 s i n ( 0 ) ⋅ s i n ( 3 π − 3 π ) c o s 2 ( 0 ) c o s ( 0 ) ⋅ c o s ( 0 ) + 2 1 ⋅ s i n ( 0 ) ⋅ s i n ( 0 ) 1 2 1 ⋅ 1 + 2 1 ⋅ 0 ⋅ 0 1 1 + 0 1 Ingat π = 18 0 ∘ Selanjutnya cari nilai y 1 dengan cara mensubtitusikan nilai x 1 pada fungsi f ( x ) . f ( x ) f ( 3 2 π ) y 1 = = = = = = c o s ( 2 x − 3 π ) s i n ( x − 3 2 π ) c o s ( 2 3 2 π − 3 π ) s i n ( 3 2 π − 3 2 π ) c o s ( 3 π − 3 π ) s i n ( 0 ) c o s 0 s i n 0 1 0 0 Setelah memperoleh nilai m = 1 , x 1 = 3 2 π dan y 1 = 0 maka substitusikan pada rumus persamaan garis singgung berikut: y − y 1 y − 0 y = = = m ( x − x 1 ) 1 ( x − 3 2 π ) x − 3 2 π Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.

Garis $g$ menyinggung grafik $f (x)$ , maka untuk memperoleh nilai gradien garis $g$ yaitu $m = f^{'} (x)$ . Untuk mencari turunan dari fungsi $f (x)$ gunakan aturan pembagian turunan berikut ini:

$f (x) = \frac{u}{v} f^{'} (x) = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$

Diberikan soal $f (x) = \frac{sin ( x - \frac{2}{3} π )}{cos ( \frac{x}{2} - \frac{π}{3} )}$ , maka penyelesaian dari soal di atas yaitu:

$u u^{'} v v^{'} = = = = sin (x - \frac{2}{3} π) cos (x - \frac{2}{3} π) cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{3}) - \frac{1}{2} sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$

Sehingga diperoleh:

$f^{'} (x) = = = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}} \frac{c o s ( x - \frac{2}{3} π ) \cdot c o s ( \frac{x}{2} - \frac{π}{3} ) - s i n ( x - \frac{2}{3} π ) \cdot- \frac{1}{2} s i n ( \frac{x}{2} - \frac{π}{3} )}{( c o s ( \frac{x}{2} - \frac{π}{3} ) ) ^{2}} \frac{c o s ( x - \frac{2}{3} π ) \cdot c o s ( \frac{x}{2} - \frac{π}{3} ) + \frac{1}{2} \cdot s i n ( x - \frac{2}{3} π ) \cdot s i n ( \frac{x}{2} - \frac{π}{3} )}{c o s ^{2} ( \frac{x}{2} - \frac{π}{3} )}$

Garis $g$ menyinggung di absis $x = \frac{2 π}{3}$ , maka substitusikan titik absis nya pada $f^{'} (x)$ untuk memperoleh gradien.

$f^{'} (x) f^{'} (\frac{2 π}{3}) m = = = = = = = \frac{c o s ( x - \frac{2}{3} π ) \cdot c o s ( \frac{x}{2} - \frac{π}{3} ) + \frac{1}{2} \cdot s i n ( x - \frac{2}{3} π ) \cdot s i n ( \frac{x}{2} - \frac{π}{3} )}{c o s ^{2} ( \frac{x}{2} - \frac{π}{3} )} \frac{c o s ( \frac{2}{3} π - \frac{2}{3} π ) \cdot c o s ⎝ ⎛ \frac{\frac{2}{3} π}{2} - \frac{π}{3} ⎠ ⎞ + \frac{1}{2} \cdot s i n ( \frac{2}{3} π - \frac{2}{3} π ) \cdot s i n ⎝ ⎛ \frac{\frac{2}{3} π}{2} - \frac{π}{3} ⎠ ⎞}{c o s ^{2} ⎝ ⎛ \frac{\frac{2}{3} π}{2} - \frac{π}{3} ⎠ ⎞} \frac{c o s ( 0 ) \cdot c o s ( \frac{π}{3} - \frac{π}{3} ) + \frac{1}{2} s i n ( 0 ) \cdot s i n ( \frac{π}{3} - \frac{π}{3} )}{c o s ^{2} ( \frac{π}{3} - \frac{π}{3} )} \frac{c o s ( 0 ) \cdot c o s ( 0 ) + \frac{1}{2} \cdot s i n ( 0 ) \cdot s i n ( 0 )}{c o s ^{2} ( 0 )} \frac{1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot 0}{1 ^{2}} \frac{1 + 0}{1} 1$

Ingat $π = 18 0^{\circ}$

Selanjutnya cari nilai $y_{1}$ dengan cara mensubtitusikan nilai $x_{1}$ pada fungsi $f (x)$ .

$f (x) f (\frac{2 π}{3}) y_{1} = = = = = = \frac{s i n ( x - \frac{2 π}{3} )}{c o s ( \frac{x}{2} - \frac{π}{3} )} \frac{s i n ( \frac{2 π}{3} - \frac{2 π}{3} )}{c o s ( \frac{\frac{2 π}{3}}{2} - \frac{π}{3} )} \frac{s i n ( 0 )}{c o s ( \frac{π}{3} - \frac{π}{3} )} \frac{s i n 0}{c o s 0} \frac{0}{1} 0$