Garis berikut yang memotong lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 7 = 0 adalah ....

Pembahasan

Kedudukan garis y = m x + n terhadap lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 yaitu: Jika D > 0 , maka garis memotong lingkaran di dua titik berlainan. Jika D = 0 , maka garis menyinggung lingkaran. Jika D < 0 , maka garis tidak memotong lingkaran. Dengan D = b 2 − 4 a c yang merupakan diskriminan persamaan kuadrat hasil substitusi garis y = m x + n ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 . Diketahui: persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 7 = 0 . Penyelesaian soal di atas yaitu: a. Untuk garis y − 4 = 0 ↔ y = 4 , substitustikan ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 7 = 0 , sebagai berikut. x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 7 x 2 + 4 2 + 2 x − 2 ( 4 ) − 7 x 2 + 16 + 2 x − 8 − 7 x 2 + 2 x + 1 ​ = = = = ​ 0 0 0 0 ​ Nilai diskriminan: b 2 − 4 a c ​ = = = ​ 2 2 − 4 ( 1 ) ( 1 ) 4 − 4 0 ​ Nilai D = 0 sehinggagaris y − 4 = 0 menyinggung lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 7 = 0 . b.Untuk garis x − 2 = 0 ↔ x = 2 , substitustikan ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 7 = 0 , sebagai berikut. x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 7 2 2 + y 2 + 2 ( 2 ) − 2 y − 7 4 + y 2 + 4 − 2 y − 7 y 2 − 2 y + 1 ​ = = = = ​ 0 0 0 0 ​ Nilai diskriminan: b 2 − 4 a c ​ = = = ​ ( − 2 ) 2 − 4 ( 1 ) ( 1 ) 4 − 4 0 ​ Nilai D = 0 sehinggagaris x − 2 = 0 menyinggung lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 7 = 0 . c.Untuk garis − 2 x + 2 y − 13 = 0 , substitustikan ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 7 = 0 . Garis − 2 x + 2 y − 13 = 0 dapat dituliskan: − 2 x + 2 y − 13 − 2 x 2 x x ​ = = = = ​ 0 − 2 y + 13 2 y − 13 2 2 y − 13 ​ ​ Substitusikan ke persamaan lingkaran. x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 7 ( 2 2 y − 13 ​ ) 2 + y 2 + 2 ( 2 2 y − 13 ​ ) − 2 y − 7 4 4 y 2 − 52 y + 169 ​ + y 2 + 2 y − 13 − 2 y − 7 4 4 y 2 − 52 y + 169 ​ + y 2 − 20 4 y 2 − 52 y + 169 + 4 y 2 − 80 8 y 2 − 52 y + 89 ​ = = = = = = ​ 0 0 0 0 ( × 4 ) 0 0 ​ Nilai diskriminannya: b 2 − 4 a c ​ = = = ​ ( − 52 ) 2 − 4 ( 8 ) ( 89 ) 2704 − 2848 − 144 ​ Nilai D < 0 sehinggagaris − 2 x + 2 y − 13 = 0 tidak memotong lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 7 = 0 . d.Untuk garis 2 x − 5 y − 12 = 0 , substitustikan ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 7 = 0 , sebagai berikut. Garis 2 x − 5 y − 12 = 0 dapat dituliskan: 2 x − 5 y − 12 2 x x ​ = = = ​ 0 5 y + 12 2 5 y + 12 ​ ​ Substitusikan ke persamaan lingkaran. x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 7 ( 2 5 y + 12 ​ ) 2 + y 2 + 2 ( 2 5 y + 12 ​ ) − 2 y − 7 4 25 y 2 + 120 y + 144 ​ + y 2 + 5 y + 12 − 2 y − 7 4 25 y 2 + 120 y + 144 ​ + y 2 + 3 y + 5 25 y 2 + 120 y + 144 + 4 y 2 + 12 y + 20 29 y 2 + 132 y + 164 ​ = = = = = = ​ 0 0 0 0 ( × 4 ) 0 0 ​ Nilai diskriminannya: b 2 − 4 a c ​ = = = ​ ( 132 ) 2 − 4 ( 29 ) ( 164 ) 17424 − 19024 − 1600 ​ Nilai D < 0 sehinggagaris 2 x − 5 y − 12 = 0 tidakmemotong lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 7 = 0 . e.Untuk garis x + 3 y − 5 = 0 , substitustikan ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 7 = 0 , sebagai berikut. Garis x + 3 y − 5 = 0 dapat dituliskan: x + 3 y − 5 x ​ = = ​ 0 5 − 3 y ​ Substitusikan ke persamaan lingkaran. x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 7 ( 5 − 3 y ) 2 + y 2 + 2 ( 5 − 3 y ) − 2 y − 7 25 − 30 y + 9 y 2 + y 2 + 10 − 6 y − 2 y − 7 10 y 2 − 38 y + 28 ​ = = = = ​ 0 0 0 0 ​ Nilai diskriminannya: b 2 − 4 a c ​ = = = ​ ( − 38 ) 2 − 4 ( 10 ) ( 28 ) 1444 − 1120 324 ​ Nilai D > 0 sehinggagaris x + 3 y − 5 = 0 memotong lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 7 = 0 . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah E.