Gambar berikut menunjukkan grafik fungsi y=f(x)=5+4x−x2 dengan daerah asal −2≤x≤6,x∈R. Tentukan: a. pembuat nol fungsi,

Persamaan kuadarat yang melalui 1 titik dan titik puncak adalah:

 

Dengan:

 

maka:

 

Nilai  dan  kita susbtitusi ke  sehingga diperoleh:

  

Jadii, Persamaan kuadrat yang melalui titik puncak  dan melalui titik  adalah .

Pada gambar, grafik melalui titik dan titik puncak . Persamaan umum yang digunakan adalah

Pertama tentukan nilai a,

Jadi, persamaan fungsi kuadrat adalah

Ingat kembali rumus mencari fungsi kuadrat apabila diketahui titik puncak (x_p, y_p) sebagai berikut.

$$y=a{(x-x_p)}^2+y_p$$

Dari gambar grafik, diketahui titik puncak (x_p, y_p) adalah $$(1,-5)$$ dan titik potong di sumbu y adalah $$(0,-4)$$. Kemudian substitusikan titik tersebut ke dalam persamaan di atas.

$$\begin{array}{c}y=a{(x-x_p)}^2+y_p\\ -4=a{(0-1)}^2-5\\ -4=a(1)-5\\ 5-4=a\\ 1=a\end{array}$$

Kemudian, substitusikan $$a=1$$ ke persamaan $$y=a{(x-x_p)}^2+y_p$$. 

$$\begin{gathered} y=a{(x-x_p)}^2+y_p \\ y=1{(x-1)}^2-5 \\ y={(x-1)}^2-5 \\ y=x^2-2x+1-5 \\ y=x^2-2x-4 \end{gathered}$$

Dengan demikian, grafik fungsi di atas adalah $$y=x^2-2x-4$$.

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.

 

Jika diperhatikan, grafik fungsi tersebut memiliki titik puncak pada titik .

Sehingga, didapat

Kemudian, grafik fungsi tersebut juga melalui titik . Sehingga dapat dilakukan substitusi nilai x dengan 0 dan substitusi nilai y dengan , menjadi

 

Selanjutnya, substitusikan nilai a ke persamaan sebelumnya. Sehingga didapat

 

Jadi, persamaan grafik fungsi tersebut adalah .

Dengan demikian, jawaban yang tepat adalah A.

Ingat!

Rumus menentukan fungsi kuadrat jika diketahui titik puncak $$(x_p,y_p)$$ dan melalui sebuah titik:

$$\begin{array}{rcl}y& =& f(x)=a{\left(x-x_p\right)}^2+y_p\end{array}$$ 

1. Persamaan grafik fungsi kuadrat

Diketahui, fungsi kuadrat memiliki puncak  $$({\mathrm{x}}_{\mathrm{p}},{\mathrm{y}}_{\mathrm{p}})=(1,-4)$$. Maka:

$$\begin{array}{rcl}y& =& a{\left(x-1\right)}^2+(-4)\\ & =& a{(x-1)}^2-4\end{array}$$ 

2. Mencari nilai a

Grafik fungsi kuadrat melalui titik $$(2,-3)$$ artinya nilai $$x=2$$ dan $$y=-3$$, sehingga:

$$\begin{array}{rcl}y& =& a{(x-1)}^2-4\\ -3& =& a{(2-1)}^2-4\\ -3& =& a{(1)}^2-4\\ -3& =& a-4\\ -3+4& =& a\\ 1& =& a\end{array}$$ 

3. Mencari Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat

Substitusikan $$a=1$$ ke fungsi $$\begin{array}{rcl}y+4& =& a{(x-1)}^2\end{array}$$, sehingga:

$$\begin{array}{rcl}y& =& (1){(x-1)}^2-4\\ y& =& 1\cdot (x^2-x-x+1)-4\\ y& =& x^2-2x+1-4\\ y& =& x^2-2x-3\end{array}$$  

Dengan demikian, persamaan grafik fungsi tersebut adalah $$\begin{array}{rcl}y& =& x^2-2x-3\end{array}$$.