Pertanyaan

Dua lingkaran berjari-jari 5 satuan saling bersinggungan di titik ( 1 , 2 ) . Jika persamaan garis singgung kedua lingkaran itu adalah 4 x + 3 y − 10 = 0 , tentukan persamaan kedua lingkaran tersebut.

Dua lingkaran berjari-jari $5$ satuan saling bersinggungan di titik $(1, 2)$ . Jika persamaan garis singgung kedua lingkaran itu adalah $4 x + 3 y - 10 = 0$ , tentukan persamaan kedua lingkaran tersebut.

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

persamaan kedua lingkaran tersebut adalah ( x − 5 ) 2 + ( y − 5 ) 2 = 25 dan ( x + 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 25 .

persamaan kedua lingkaran tersebut adalah

(x - 5)^{2} + (y - 5)^{2} = 25 dan (x + 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 25

Pembahasan

Misalkan kedua titik pusat lingkaran itu A dan B garis singgungnya g 1 dan titik singgungnya T . Berdasarkan sifat garis singgung lingkaran, haruslah A B (yaitu g 2 ) tegak lurus pada g 1 di T . g 1 : 4 x + 3 y − 10 = 0 → y = − 3 4 x + 3 10 bergradien m 1 = − 3 4 . Karena g 1 ⊥ g 2 maka m 2 = 4 3 , sehingga g 2 yang bergradien 4 3 dan melalui T memiliki persamaan 3 x − 4 y + 5 = 0 , dengan y = 4 3 x + 4 5 . Misalkan koordinat pusat lingkaran itu ( a , b ) . Karena pusat lingkaran terletak pada g 2 maka berlaku b = 4 3 a + 4 5 . Berdasarkan rumus jarak titik ke garis, diperoleh jarak pusat lingkaran ke g 1 sebagai berikut: 4 2 + 3 2 ∣ 4 a + 3 b − 10 ∣ 25 ∣ 4 a + 3 b − 10 ∣ ∣ 4 a + 3 b − 10 ∣ ∣ ∣ 4 a + 3 ( 4 3 a + 4 5 ) − 10 ∣ ∣ ∣ ∣ 4 a + 4 9 b + 4 15 − 10 ∣ ∣ ∣ ∣ 4 25 a − 4 25 ∣ ∣ ∣ ∣ 4 25 ( a − !) ∣ ∣ 4 25 ∣ a − 1 ∣ ∣ a − 1 ∣ = = = = = = = = = 5 5 25 25 25 25 25 25 4 sehingga diperoleh: a − 1 = 4 ⇒ a = 5 ⇒ b = 4 15 + 4 5 = 4 20 = 5 a t a u a − 1 = − 4 ⇒ a = − 3 ⇒ b = − 4 9 + 4 5 = − 4 4 = − 1 Dengan demikian, persamaan kedua lingkaran tersebut adalah ( x − 5 ) 2 + ( y − 5 ) 2 = 25 dan ( x + 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 25 .

Misalkan kedua titik pusat lingkaran itu $A dan B$ garis singgungnya $g_{1}$ dan titik singgungnya $T$ . Berdasarkan sifat garis singgung lingkaran, haruslah $A B$ (yaitu $g_{2}$ ) tegak lurus pada $g_{1}$ di $T$ .

$g_{1} : 4 x + 3 y - 10 = 0 \to y = - \frac{4}{3} x + \frac{10}{3}$ bergradien $m_{1} = - \frac{4}{3}$ . Karena $g_{1}$ $⊥$ $g_{2}$ maka $m_{2} = \frac{3}{4}$ , sehingga $g_{2}$ yang bergradien $\frac{3}{4}$ dan melalui $T$ memiliki persamaan $3 x - 4 y + 5 = 0$ , dengan $y = \frac{3}{4} x + \frac{5}{4}$ .

Misalkan koordinat pusat lingkaran itu $(a, b)$ . Karena pusat lingkaran terletak pada $g_{2}$ maka berlaku $b = \frac{3}{4} a + \frac{5}{4}$ .

Berdasarkan rumus jarak titik ke garis, diperoleh jarak pusat lingkaran ke $g_{1}$ sebagai berikut:

$\frac{∣ 4 a + 3 b - 10 ∣}{4 ^{2} + 3 ^{2}} \frac{∣ 4 a + 3 b - 10 ∣}{25} ∣ 4 a + 3 b - 10 ∣ ∣ ∣ 4 a + 3 (\frac{3}{4} a + \frac{5}{4}) - 10 ∣ ∣ ∣ ∣ 4 a + \frac{9}{4} b + \frac{15}{4} - 10 ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{25}{4} a - \frac{25}{4} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{25}{4} (a -!) ∣ ∣ \frac{25}{4} ∣ a - 1 ∣ ∣ a - 1 ∣ = = = = = = = = = 552525252525254$

sehingga diperoleh:

$a - 1 = 4 \Rightarrow a = 5 \Rightarrow b = \frac{15}{4} + \frac{5}{4} = \frac{20}{4} = 5 a t a u a - 1 = - 4 \Rightarrow a = - 3 \Rightarrow b = - \frac{9}{4} + \frac{5}{4} = - \frac{4}{4} = - 1$

Dengan demikian, persamaan kedua lingkaran tersebut adalah $(x - 5)^{2} + (y - 5)^{2} = 25 dan (x + 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 25$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (2 rating)

Ananda Giko

Pembahasan tidak lengkap

Pertanyaan serupa

Diketahui dua buah persamaan lingkaran sebagai berikut. Banyak persamaan garis singgung yang dapat dibuat dari kedua lingkaran tersebut adalah ….

5.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan persamaan garis singgung dari kedudukan kedua lingkaran berikut. L 1 ≡ x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 9 = 0 L 2 ≡ x 2 + y 2 − 4 x − 10 y + 19 = 0

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui beberapa garis lurus berikut ini. 1. y = 1 2. y = − 1 3. 12 x + 5 y + 7 = 0 4. 5 x − 12 y + 4 = 0 Dari beberapa garis di atas, yang merupakan garis singgung persekutuan lingkaran dan l...

0.0

Jawaban terverifikasi

Lingkaran L 1 mempunyai jari-jari 5 dengan titik pusat (0,0), sedangkan lingkaran L 2 mempunyai jari-jari 3 dengan titik pusat pada sumbu- x positif. jika persamaan garis singgung persekutuan dalam ke...

3.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui persamaan lingkaran sebagai berikut. Salah satu persamaan garis singgung persekutuan dua lingkaran di atas adalah ….

0.0

Jawaban terverifikasi