Dua lingkaran berjari-jari 5 satuan saling bersinggungan di titik (1, 2). Jika persamaan garis singgung kedua lingkaran itu adalah 4x+3y−10=0, tentukan persamaan kedua lingkaran tersebut.

Pertanyaan

Dua lingkaran berjari-jari $5$ satuan saling bersinggungan di titik $(1,\;2)$ . Jika persamaan garis singgung kedua lingkaran itu adalah $4x+3y-10=0$ , tentukan persamaan kedua lingkaran tersebut.

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

persamaan kedua lingkaran tersebut adalah $\left(x-5\right)^2+\left(y-5\right)^2=25\;\mathrm{dan}\;\left(x+3\right)^2+\left(y+1\right)^2=25$ .

Pembahasan

Misalkan kedua titik pusat lingkaran itu $A\;\mathrm{dan}\;B$ garis singgungnya $g_1$ dan titik singgungnya $T$ . Berdasarkan sifat garis singgung lingkaran, haruslah $\overleftrightarrow{AB}$ (yaitu $g_2$ ) tegak lurus pada $g_1$ di $T$ .

$g_1\;:\;4x+3y-10=0\rightarrow y=-\frac43x+\frac{10}3\;$ bergradien $m_1=-\frac43$ . Karena $g_1$ $\perp$ $g_2$ maka $m_2=\frac34$ , sehingga $g_2$ yang bergradien $\frac34$ dan melalui $T$ memiliki persamaan $3x-4y+5=0$ , dengan $y=\frac34x+\frac54$ .

Misalkan koordinat pusat lingkaran itu $\left(a,b\right)$ . Karena pusat lingkaran terletak pada $g_2$ maka berlaku $b=\frac34a+\frac54$ .

Berdasarkan rumus jarak titik ke garis, diperoleh jarak pusat lingkaran ke $g_1$ sebagai berikut:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell fraction numerator open vertical bar 4 a plus 3 b minus 10 close vertical bar over denominator square root of 4 squared plus 3 squared end root end fraction end cell equals 5 row cell fraction numerator open vertical bar 4 a plus 3 b minus 10 close vertical bar over denominator square root of 25 end fraction end cell equals 5 row cell open vertical bar 4 a plus 3 b minus 10 close vertical bar end cell equals 25 row cell open vertical bar 4 a plus 3 open parentheses 3 over 4 a plus 5 over 4 close parentheses minus 10 close vertical bar end cell equals 25 row cell open vertical bar 4 a plus 9 over 4 b plus 15 over 4 minus 10 close vertical bar end cell equals 25 row cell open vertical bar 25 over 4 a minus 25 over 4 close vertical bar end cell equals 25 row cell open vertical bar 25 over 4 left parenthesis a minus factorial right parenthesis close vertical bar end cell equals 25 row cell 25 over 4 open vertical bar a minus 1 close vertical bar end cell equals 25 row cell open vertical bar a minus 1 close vertical bar end cell equals 4 end table$

sehingga diperoleh:

$a-1=4\Rightarrow a=5\Rightarrow b=\frac{15}4+\frac54=\frac{20}4=5\;atau\\a-1=-4\Rightarrow a=-3\Rightarrow b=-\frac94+\frac54=-\frac44=-1$

Dengan demikian, persamaan kedua lingkaran tersebut adalah $\left(x-5\right)^2+\left(y-5\right)^2=25\;\mathrm{dan}\;\left(x+3\right)^2+\left(y+1\right)^2=25$ .

638

5.0 (2 rating)

Ananda Giko

Pembahasan tidak lengkap

Pertanyaan serupa

Lingkaran L1 mempunyai jari-jari 5 dengan titik pusat (0,0), sedangkan lingkaran L2 mempunyai jari-jari 3 dengan titik pusat pada sumbu- x positif. jika persamaan garis singgung persekutuan dalam kedu...

353

3.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui dua buah persamaan lingkaran sebagai berikut. Banyak persamaan garis singgung yang dapat dibuat dari kedua lingkaran tersebut adalah ….

0.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan persamaan garis singgung dari kedudukan kedua lingkaran berikut. L1≡x2+y2−2x−6y+9=0L2≡x2+y2−4x−10y+19=0

108

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui dua buah lingkaran sebagai berikut. Persamaan garis singgung persekutuan yang terbentuk dari kedua lingkaran tersebut adalah ….

102

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui beberapa garis lurus berikut ini. 1. y=12. y=−13. 12x+5y+7=04. 5x−12y+4=0 Dari beberapa garis di atas, yang merupakan garis singgung persekutuan lingkaran dan lingkaran adalah ....

0.0

Jawaban terverifikasi