Pertanyaan

Diketahui beberapa garis lurus berikut ini. 1. y = 1 2. y = − 1 3. 12 x + 5 y + 7 = 0 4. 5 x − 12 y + 4 = 0 Dari beberapa garis di atas, yang merupakan garis singgung persekutuan lingkaran dan lingkaran adalah ....

Diketahui beberapa garis lurus berikut ini.

$1. y = 1 2. y = - 1 3. 12 x + 5 y + 7 = 0 4. 5 x - 12 y + 4 = 0$

Dari beberapa garis di atas, yang merupakan garis singgung persekutuan lingkaran straight L subscript 1 colon space open parentheses x minus 2 close parentheses squared plus open parentheses y plus 1 close parentheses squared equals 4 dan lingkaran straight L subscript 2 colon space open parentheses x minus 1 close parentheses squared plus open parentheses y minus 4 close parentheses squared equals 9 adalah ....

1 dan 3
2 dan 3
2 dan 4
1, 3 dan 4
2, 3 dan 4

D. Natalia

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah D.

Pembahasan

Perhatikan bahwa pusat dan jari-jari lingkaran adalah sebagai berikut. Kemudian, pusat dan jari-jari lingkaran adalahsebagai berikut. Jika kita gambar di koordinat kartesius, maka posisi kedua lingkaran akan saling bersinggungan. Misal garis singgung kedua lingkaran di atas adalah . Jarak titik pusat ke garis singgung akan sama dengan jari-jari dari masing-masing lingkaran. Oleh karena itu,jarak titik ke garis singgung akan sama dengan panjang jari-jari , sertajarak ke garis singgung akan sama dengan panjang jari-jari . Perhatikan perhitungan pada berikut ini! Selanjutnya, perhatikan perhitungan pada berikut ini! Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan sebagai berikut. Perhatikan pada bagian dan , akan terdapat 4 kemungkinan, yaitu dan . Kemungkinan 1. Diperoleh nilai atau . Kemungkinan nilai untuk adalah sebagai berikut. Kemungkinan nilai untuk adalah sebagai berikut. Langkah selanjutnya, cek ke-4 pasangan nilai dan ke perhitungan jarak kedua titik pusat ke garis singgung kedua lingkaran, apakah memenuhi atau tidak. Cek untuk nilai dan ,didapat perhitungan sebagai berikut. Karena keduanya benar, maka pasangan nilai dan memenuhi persamaan garis singgung yang diinginkan. Cek untuk nilai dan ,didapat perhitungan sebagai berikut. Karena hanya salah satu yang benar, maka pasangan nilai dan tidak memenuhi persamaan garis singgung yang diinginkan. Cek untuk nilai dan ,didapat perhitungan sebagai berikut. Karena keduanya benar, maka pasangan nilai dan memenuhi persamaan garis singgung yang diinginkan. Cek untuk nilai dan ,didapat perhitungan sebagai berikut. Karena hanya salah satu yang benar, maka pasangan nilai dan tidak memenuhi persamaan garis singgung yang diinginkan. Dari kemungkinan pertama diperoleh dua pasangan nilai dan yang memenuhi. Persamaan garis singgung untuk dan adalah sebagai berikut. Persamaan garis singgung untuk dan adalah sebagai berikut. Kemungkinan 2. Kemungkinan nilai untuk adalah sebagai berikut. Langkah selanjutnya, cek ke-2pasangan nilai dan ke perhitungan jarak kedua titik pusat ke garis singgung kedua lingkaran, apakah memenuhi atau tidak. Cek untuk nilai dan pada kedua lingkaran, apakah memenuhi atau tidak. Karena hanya salah satu yang benar, maka pasangan nilai dan tidak memenuhi persamaan garis singgung yang diinginkan. Cek untuk nilai dan pada kedua lingkaran, apakah memenuhi atau tidak. Karena keduanya benar, maka pasangan nilai dan memenuhi persamaan garis singgung yang diinginkan. Dari kemungkinan kedua diperoleh pasangan nilai dan yang memenuhi adalah dan . Persamaan garis singgung persekutuannya adalah sebagai berikut. Dengan demikian, persamaan garis singgung persekutuan dua lingkaran tersebut adalah sebagai berikut. Jika kita gambar pada koordinat kartesius maka diperoleh gambar berikut ini. Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

Perhatikan bahwa pusat dan jari-jari lingkaran straight L subscript 1 colon space open parentheses x minus 2 close parentheses squared plus open parentheses y plus 1 close parentheses squared equals 4 adalah sebagai berikut.

Kemudian, pusat dan jari-jari lingkaran straight L subscript 2 colon space open parentheses x minus 1 close parentheses squared plus open parentheses y minus 4 close parentheses squared equals 9 adalah sebagai berikut.

straight P subscript 2 open parentheses 1 , space 4 close parentheses straight r subscript 2 equals square root of 9 equals 3

Jika kita gambar di koordinat kartesius, maka posisi kedua lingkaran akan saling bersinggungan.

Misal garis singgung kedua lingkaran di atas adalah y minus m x minus c equals 0 .

Jarak titik pusat ke garis singgung akan sama dengan jari-jari dari masing-masing lingkaran. Oleh karena itu, jarak titik ke garis singgung y minus m x minus c equals 0 akan sama dengan panjang jari-jari straight L subscript 1 , serta jarak straight P subscript 2 equals open parentheses 1 , space 4 close parentheses ke garis singgung akan sama dengan panjang jari-jari straight L subscript 2 .

Perhatikan perhitungan pada straight L subscript 1 berikut ini!

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell open vertical bar fraction numerator 1 open parentheses negative 1 close parentheses minus m open parentheses 2 close parentheses minus c over denominator square root of open parentheses negative m close parentheses squared plus 1 squared end root end fraction close vertical bar end cell equals 2 row cell open vertical bar fraction numerator negative 1 minus 2 m minus c over denominator square root of m squared plus 1 end root end fraction close vertical bar end cell equals 2 row cell open vertical bar fraction numerator negative open parentheses 1 plus 2 m plus c close parentheses over denominator square root of 1 plus m squared end root end fraction close vertical bar end cell equals 2 row cell fraction numerator open parentheses 1 plus 2 m plus c close parentheses over denominator square root of 1 plus m squared end root end fraction end cell equals cell plus-or-minus 2 end cell row cell 1 plus 2 m plus c end cell equals cell plus-or-minus 2 square root of 1 plus m squared end root end cell row c equals cell plus-or-minus 2 square root of 1 plus m squared end root minus open parentheses 1 plus 2 m close parentheses blank horizontal ellipsis blank open parentheses 1 close parentheses end cell end table$

Selanjutnya, perhatikan perhitungan pada straight L subscript 2 berikut ini!

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell open vertical bar fraction numerator 1 open parentheses 4 close parentheses minus m open parentheses 1 close parentheses minus c over denominator square root of open parentheses negative m close parentheses squared plus 1 squared end root end fraction close vertical bar end cell equals 3 row cell open vertical bar fraction numerator 4 minus m minus c over denominator square root of m squared plus 1 end root end fraction close vertical bar end cell equals 3 row cell fraction numerator 4 minus m minus c over denominator square root of 1 plus m squared end root end fraction end cell equals cell plus-or-minus 3 end cell row cell 4 minus m minus c end cell equals cell plus-or-minus 3 square root of 1 plus m squared end root end cell row c equals cell 4 minus m minus-or-plus 3 square root of 1 plus m squared end root blank horizontal ellipsis space open parentheses 2 close parentheses end cell end table$

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan sebagai berikut.

Perhatikan pada bagian plus-or-minus 2 dan plus-or-minus 3 , akan terdapat 4 kemungkinan, yaitu plus-or-minus 5 dan plus-or-minus 1 .

Kemungkinan 1.

Diperoleh nilai m equals 0 atau .

Kemungkinan nilai untuk m equals 0 adalah sebagai berikut.

Kemungkinan nilai untuk adalah sebagai berikut.

Langkah selanjutnya, cek ke-4 pasangan nilai dan ke perhitungan jarak kedua titik pusat ke garis singgung kedua lingkaran, apakah memenuhi atau tidak.

Cek untuk nilai m equals 0 dan c equals 1 , didapat perhitungan sebagai berikut.

Karena keduanya benar, maka pasangan nilai m equals 0 dan c equals 1 memenuhi persamaan garis singgung yang diinginkan.

Cek untuk nilai m equals 0 dan c equals negative 3 , didapat perhitungan sebagai berikut.

Karena hanya salah satu yang benar, maka pasangan nilai m equals 0 dan c equals negative 3 tidak memenuhi persamaan garis singgung yang diinginkan.

Cek untuk nilai m equals 5 over 12 dan c equals 1 third , didapat perhitungan sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell open vertical bar fraction numerator open parentheses 1 plus 2 m plus c close parentheses over denominator square root of 1 plus m squared end root end fraction close vertical bar end cell equals 2 row cell open vertical bar fraction numerator open parentheses 1 plus 2 open parentheses 5 over 12 close parentheses plus 1 third close parentheses over denominator square root of 1 plus open parentheses 5 over 12 close parentheses squared end root end fraction close vertical bar end cell equals 2 row cell open vertical bar fraction numerator open parentheses 1 plus 5 over 6 plus 1 third close parentheses over denominator square root of 1 plus 25 over 144 end root end fraction close vertical bar end cell equals 2 row cell open vertical bar fraction numerator 13 over 6 over denominator square root of 169 over 144 end root end fraction close vertical bar end cell equals 2 row cell open vertical bar fraction numerator 13 over 6 over denominator 13 over 12 end fraction close vertical bar end cell equals 2 row cell open vertical bar 2 close vertical bar end cell equals cell 2 blank open parentheses bold BENAR close parentheses end cell row blank blank blank row cell open vertical bar fraction numerator 4 minus m minus c over denominator square root of 1 plus m squared end root end fraction close vertical bar end cell equals 3 row cell open vertical bar fraction numerator 4 minus 5 over 12 minus 1 third over denominator square root of 1 plus open parentheses 5 over 12 close parentheses squared end root end fraction close vertical bar end cell equals 3 row cell open vertical bar fraction numerator 39 over 12 over denominator square root of 1 plus 25 over 144 end root end fraction close vertical bar end cell equals 3 row cell open vertical bar fraction numerator 39 over 12 over denominator square root of 169 over 144 end root end fraction close vertical bar end cell equals 3 row cell open vertical bar fraction numerator 39 over 12 over denominator 13 over 12 end fraction close vertical bar end cell equals 3 row cell open vertical bar 3 close vertical bar end cell equals cell 3 blank open parentheses bold BENAR close parentheses end cell end table$

Karena keduanya benar, maka pasangan nilai m equals 5 over 12 dan c equals 1 third memenuhi persamaan garis singgung yang diinginkan.

Cek untuk nilai m equals 5 over 12 dan c equals negative 4 , didapat perhitungan sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell open vertical bar fraction numerator open parentheses 1 plus 2 m plus c close parentheses over denominator square root of 1 plus m squared end root end fraction close vertical bar end cell equals 2 row cell open vertical bar fraction numerator open parentheses 1 plus 2 open parentheses 5 over 12 close parentheses minus 4 close parentheses over denominator square root of 1 plus open parentheses 5 over 12 close parentheses squared end root end fraction close vertical bar end cell equals 2 row cell open vertical bar fraction numerator open parentheses 1 plus 5 over 6 minus 4 close parentheses over denominator square root of 1 plus 25 over 144 end root end fraction close vertical bar end cell equals 2 row cell open vertical bar fraction numerator negative 13 over 6 over denominator square root of 169 over 144 end root end fraction close vertical bar end cell equals 2 row cell open vertical bar fraction numerator negative 13 over 6 over denominator 13 over 12 end fraction close vertical bar end cell equals 2 row cell open vertical bar negative 2 close vertical bar end cell equals cell 2 blank bold left parenthesis bold BENAR bold right parenthesis end cell row blank blank blank row cell open vertical bar fraction numerator 4 minus m minus c over denominator square root of 1 plus m squared end root end fraction close vertical bar end cell equals 3 row cell open vertical bar fraction numerator 4 minus 5 over 12 plus 4 over denominator square root of 1 plus open parentheses 5 over 12 close parentheses squared end root end fraction close vertical bar end cell equals 3 row cell open vertical bar fraction numerator 8 minus 5 over 12 over denominator square root of 1 plus 25 over 144 end root end fraction close vertical bar end cell equals 3 row cell open vertical bar fraction numerator 91 over 12 over denominator square root of 169 over 144 end root end fraction close vertical bar end cell equals 3 row cell open vertical bar fraction numerator 91 over 12 over denominator 13 over 12 end fraction close vertical bar end cell equals 3 row cell open vertical bar 91 over 13 close vertical bar end cell equals cell 3 blank bold left parenthesis bold SALAH bold right parenthesis end cell end table$

Karena hanya salah satu yang benar, maka pasangan nilai m equals 5 over 12 dan c equals negative 4 tidak memenuhi persamaan garis singgung yang diinginkan.

Dari kemungkinan pertama diperoleh dua pasangan nilai dan yang memenuhi.

Persamaan garis singgung untuk m equals 0 dan c equals 1 adalah sebagai berikut.

Persamaan garis singgung untuk m equals 5 over 12 dan c equals 1 third adalah sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell 5 over 12 x plus 1 third end cell row cell 12 y end cell equals cell 5 x plus 4 end cell end table

Kemungkinan 2.

Kemungkinan nilai untuk adalah sebagai berikut.

Langkah selanjutnya, cek ke-2 pasangan nilai dan ke perhitungan jarak kedua titik pusat ke garis singgung kedua lingkaran, apakah memenuhi atau tidak.

Cek untuk nilai m equals negative 12 over 5 dan c equals 9 pada kedua lingkaran, apakah memenuhi atau tidak.

Karena hanya salah satu yang benar, maka pasangan nilai m equals negative 12 over 5 dan c equals 9 tidak memenuhi persamaan garis singgung yang diinginkan.

Cek untuk nilai m equals negative 12 over 5 dan c equals negative 7 over 5 pada kedua lingkaran, apakah memenuhi atau tidak.

Karena keduanya benar, maka pasangan nilai m equals negative 12 over 5 dan c equals negative 7 over 5 memenuhi persamaan garis singgung yang diinginkan.

Dari kemungkinan kedua diperoleh pasangan nilai dan yang memenuhi adalah m equals negative 12 over 5 dan c equals negative 7 over 5 .

Persamaan garis singgung persekutuannya adalah sebagai berikut.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell m x plus c end cell row y equals cell negative 12 over 5 x minus 7 over 5 end cell row cell 5 y end cell equals cell negative 12 x minus 7 end cell row cell 12 x plus 5 y plus 7 end cell equals 0 end table end style

Dengan demikian, persamaan garis singgung persekutuan dua lingkaran tersebut adalah sebagai berikut.

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals 1 row cell 12 x plus 5 y plus 7 end cell equals 0 row cell 5 x minus 12 y plus 4 end cell equals 0 end table end style

Jika kita gambar pada koordinat kartesius maka diperoleh gambar berikut ini.