Pertanyaan

Diketahui titik-titik A 1 ( 1 , 1 ) , A 2 ( 2 , 2 ) , A 3 ( 3 , 3 ) , ... , dan A n ( n , n ) dengan n ∈ bilanganasli . Ruas-ruas garis berarah O A 1 , O A 2 , O A 3 , ... , O A n sebagai wakil bagi vektor-vektor a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n . Buktikan bahwa a 1 + a 2 + a 3 + .... + a n = 2 1 ( n 2 + n n 2 + n )

Diketahui titik-titik $A_{1} (1, 1)$ , $A_{2} (2, 2)$ , $A_{3} (3, 3)$ , $...,$ dan $A_{n} (n, n)$ dengan $n \in bilangan asli$ . Ruas-ruas garis berarah $O A_{1}$ , $O A_{2}$ , $O A_{3}$ , $...,$ $O A_{n}$ sebagai wakil bagi vektor-vektor $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , $...,$ $a_{n}$ . Buktikan bahwa $a_{1} + a_{2} + a_{3} + .... + a_{n} = \frac{1}{2} (n^{2} + n n^{2} + n)$

T. Prita

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Jember

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa a 1 + a 2 + a 3 + .... + a n = 2 1 ( n 2 + n n 2 + n ) .

terbukti bahwa

a_{1} + a_{2} + a_{3} + .... + a_{n} = \frac{1}{2} (n^{2} + n n^{2} + n)

Pembahasan

Jawaban yang benar dari pertanyaan tersebut adalah terbukti bahwa a 1 + a 2 + a 3 + .... + a n = 2 1 ( n 2 + n n 2 + n ) . Vektor dengan titik pangkal di A ( x a , y a ) dan titik ujung di B ( x b , y b ) , ditentukan oleh: A B = = = b − a ( x b y b ) − ( x a y a ) ( x b − x a y b − y a ) Selain itu ingat rumus deret aritmatika berikut: S n = 2 n ( a + U n ) Keterangan: a : sukupertama U n : sukuke-n Diketahui: Titik-titik A 1 ( 1 , 1 ) , A 2 ( 2 , 2 ) , A 3 ( 3 , 3 ) , ... , dan A n ( n , n ) dengan n ∈ bilanganasli . Ruas-ruas garis berarah O A 1 , O A 2 , O A 3 , ... , O A n sebagai wakil bagi vektor-vektor a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n . Untuk vektor a 1 : O A 1 = = a 1 ( 1 1 ) Untuk vektor a 2 : O A 2 = = a 2 ( 2 2 ) Untuk vektor a 3 : O A 3 = = a 3 ( 3 3 ) Untuk vektor a n : O A n = = a n ( n n ) Sehingga: a 1 + a 2 + a 3 + .... + a n = ( 1 1 ) + ( 2 2 ) + ( 3 3 ) + ... + ( n n ) Jumlahkan elemen yang seletak: 1 + 2 + 3 + ... + n = = = 2 n ( a + U n ) 2 n ( 1 + n ) 2 1 ( n + n 2 ) Selanjutnya: a 1 + a 2 + a 3 + .... + a n = = = = ( 1 1 ) + ( 2 2 ) + ( 3 3 ) + ... + ( n n ) ( 1 + 2 + 3 + ... + n 1 + 2 + 3 + ... + n ) ( 2 1 ( n + n 2 ) 2 1 ( n + n 2 ) ) 2 1 ( n + n 2 n + n 2 ) Dengan demikian terbukti bahwa a 1 + a 2 + a 3 + .... + a n = 2 1 ( n 2 + n n 2 + n ) .

Jawaban yang benar dari pertanyaan tersebut adalah terbukti bahwa $a_{1} + a_{2} + a_{3} + .... + a_{n} = \frac{1}{2} (n^{2} + n n^{2} + n)$ .

Vektor dengan titik pangkal di $A (x_{a}, y_{a})$ dan titik ujung di $B (x_{b}, y_{b})$ , ditentukan oleh:

$A B = = = b - a (x_{b} y_{b}) - (x_{a} y_{a}) (x_{b} - x_{a} y_{b} - y_{a})$

Selain itu ingat rumus deret aritmatika berikut:

$S_{n} = \frac{n}{2} (a + U_{n})$

Keterangan:
$a : suku pertama U_{n} : suku ke-n$

Diketahui:
Titik-titik $A_{1} (1, 1)$ , $A_{2} (2, 2)$ , $A_{3} (3, 3)$ , $...,$ dan $A_{n} (n, n)$ dengan $n \in bilangan asli$ .
Ruas-ruas garis berarah $O A_{1}$ , $O A_{2}$ , $O A_{3}$ , $...,$ $O A_{n}$ sebagai wakil bagi vektor-vektor $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , $...,$ $a_{n}$ .

Untuk vektor $a_{1}$ :

$O A_{1} = = a_{1} (11)$

Untuk vektor $a_{2}$ :

$O A_{2} = = a_{2} (22)$

Untuk vektor $a_{3}$ :

$O A_{3} = = a_{3} (33)$

Untuk vektor $a_{n}$ :

$O A_{n} = = a_{n} (n n)$

Sehingga:

$a_{1} + a_{2} + a_{3} + .... + a_{n} = (11) + (22) + (33) + ... + (n n)$

Jumlahkan elemen yang seletak:

$1 + 2 + 3 + ... + n = = = \frac{n}{2} (a + U_{n}) \frac{n}{2} (1 + n) \frac{1}{2} (n + n^{2})$

Selanjutnya:

$a_{1} + a_{2} + a_{3} + .... + a_{n} = = = = (11) + (22) + (33) + ... + (n n) (1 + 2 + 3 + ... + n 1 + 2 + 3 + ... + n) (\frac{1}{2} (n + n^{2}) \frac{1}{2} (n + n^{2})) \frac{1}{2} (n + n^{2} n + n^{2})$

Dengan demikian terbukti bahwa $a_{1} + a_{2} + a_{3} + .... + a_{n} = \frac{1}{2} (n^{2} + n n^{2} + n)$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Jika a = ( 2 1 3 1 ) , b = ( 4 3 x 8 3 y ) , dan hasil a + b = ( 4 11 24 35 ) , maka x + y adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Dengan menggunakanvektor p , vektor q , dan vektor r pada soal Nomor 3 , tentukanlah vektor x pada kesamaan-kesamaan vektor berikut. a. x + p = q

4.7

Jawaban terverifikasi

Diketahui vektor a = ( 3 − 2 ) , b = ( 4 1 ) , dan c = ( − 2 − 1 ) . Jika 2 a − 3 b + k c = ( 0 − 4 ) , dengan k bilangan real, maka nilai adalah ..

158

4.7

Jawaban terverifikasi

Diketahui vektor a = ( 4 2 ) , b = ( − 3 − 5 ) ,dan c = ( − 5 1 ) . Jika x a + y b = c , nilai 5 x + y 2 adalah ...

3.7

Jawaban terverifikasi

Dengan menggunakanvektor p , vektor q , dan vektor r pada soal Nomor 3 , tentukanlah vektor x pada kesamaan-kesamaan vektor berikut. d. x + 2 q + 2 1 r = p

5.0

Jawaban terverifikasi