Pertanyaan

Diketahui △ ABC . Titik D pada BC sehingga BD : DC = 2 : 1 . Titik E pada pertengahan AB . Jika Z adalah titik potong AD dan CE , tentukan AZ : ZD = ... dan CZ : ZE = ... .

Diketahui $△ ABC$ .

Titik $D$ pada $\overline{BC}$ sehingga $BD : DC = 2 : 1$ .

Titik $E$ pada pertengahan $\overline{AB}$ .

Jika $Z$ adalah titik potong $\overline{AD}$ dan $\overline{CE}$ , tentukan $AZ : ZD = ...$ dan $CZ : ZE = ...$ .

L. Indah

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Siliwangi

Jawaban terverifikasi

Jawaban

diperoleh dan .

diperoleh

dan

Pembahasan

Untuk menyelesaikan permasalahan ini dengan menggunakan vektor posisi. Misalkan basisnya adalah dan (vektor dan ). Berdasarkan hal tersebut diperoleh: Karena searah dengan , ( adalah skalar) maka diperoleh: Di lain pihak adalah kelipatan dari , ( adalah skalar)sehingga , maka nilai lain dari diperoleh: Dengan menyamakan koefisien dan pada persamaan (4) dan (5), diperoleh: Koefisien : Koefisien : Sederhanakan koefisien , diperoleh sebagai berikut: Substitusikan hasil tersebut pada koefisien , diperoleh: Substitusikan ke koefisien , diperoleh: Sehingga diperoleh dan . Karena dan , maka . Dengan menggunakan konsep panjang vektor, perhatikan perhitungan berikut: Karena dan , maka . Dengan menggunakan konsep panjang vektor, perhatikan perhitungan berikut: Dengan demikian, diperoleh dan .

Untuk menyelesaikan permasalahan ini dengan menggunakan vektor posisi.

Misalkan basisnya adalah dan (vektor dan ). Berdasarkan hal tersebut diperoleh:

Karena searah dengan , ( adalah skalar) maka diperoleh:

Di lain pihak adalah kelipatan dari , ( adalah skalar) sehingga , maka nilai lain dari diperoleh:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell AZ with rightwards arrow on top end cell equals cell AE with rightwards arrow on top plus EZ with rightwards arrow on top end cell row blank equals cell AE with rightwards arrow on top minus ZE with rightwards arrow on top end cell row blank equals cell AE with rightwards arrow on top minus straight mu space CE with rightwards arrow on top end cell row blank equals cell 1 half open parentheses negative a plus b close parentheses minus straight mu space 1 half open parentheses a plus b close parentheses end cell row blank equals cell negative 1 half a plus 1 half b minus 1 half straight mu space a minus 1 half straight mu space b end cell row cell ZE with rightwards arrow on top end cell equals cell open parentheses fraction numerator negative 1 minus straight mu over denominator 2 end fraction close parentheses a plus open parentheses fraction numerator 1 minus straight mu over denominator 2 end fraction close parentheses b space space... open parentheses 5 close parentheses end cell end table end style$

Dengan menyamakan koefisien dan pada persamaan (4) dan (5), diperoleh:
Koefisien : $begin mathsize 14px style negative straight lambda equals fraction numerator negative 1 minus straight mu over denominator 2 end fraction end style$
Koefisien : $begin mathsize 14px style 1 third straight lambda equals fraction numerator 1 minus straight mu over denominator 2 end fraction end style$

Sederhanakan koefisien , diperoleh sebagai berikut:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell negative lambda end cell equals cell fraction numerator negative 1 minus mu over denominator 2 end fraction end cell row lambda equals cell fraction numerator 1 plus mu over denominator 2 end fraction end cell end table end style$

Substitusikan hasil tersebut pada koefisien , diperoleh:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell 1 third straight lambda end cell equals cell fraction numerator 1 minus straight mu over denominator 2 end fraction end cell row cell 1 third open parentheses fraction numerator 1 plus straight mu over denominator 2 end fraction close parentheses end cell equals cell fraction numerator 1 minus straight mu over denominator 2 end fraction end cell row cell fraction numerator 1 plus straight mu over denominator 6 end fraction end cell equals cell fraction numerator 1 minus straight mu over denominator 2 end fraction end cell row cell 1 plus straight mu end cell equals cell 3 open parentheses 1 minus straight mu close parentheses end cell row cell 1 plus straight mu end cell equals cell 3 minus 3 straight mu end cell row cell straight mu plus 3 straight mu end cell equals cell 3 minus 1 end cell row cell 4 straight mu end cell equals 2 row straight mu equals cell 1 half end cell end table end style$

Substitusikan ke koefisien , diperoleh:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row straight lambda equals cell fraction numerator 1 plus straight mu over denominator 2 end fraction end cell row straight lambda equals cell fraction numerator 1 plus begin display style 1 half end style over denominator 2 end fraction end cell row straight lambda equals cell fraction numerator begin display style 3 over 2 end style over denominator 2 end fraction end cell row straight lambda equals cell 3 over 4 end cell end table end style$

Sehingga diperoleh dan .

Karena dan , maka .

Dengan menggunakan konsep panjang vektor, perhatikan perhitungan berikut:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell open vertical bar AZ with rightwards arrow on top close vertical bar end cell equals cell 3 over 4 open vertical bar AD with rightwards arrow on top close vertical bar end cell row AZ equals cell 3 over 4 AD end cell row cell AZ over AD end cell equals cell 3 over 4 space space open parentheses ingat space ZD equals AD minus AZ close parentheses end cell row cell AZ over ZD end cell equals cell fraction numerator 3 over denominator 4 minus 3 end fraction end cell row cell AZ over ZD end cell equals cell 3 over 1 end cell row cell AZ space colon space ZD end cell equals cell 3 space colon space 1 end cell end table end style$

Karena dan , maka .

Dengan menggunakan konsep panjang vektor, perhatikan perhitungan berikut:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 2px end attributes row cell open vertical bar ZE with rightwards arrow on top close vertical bar end cell equals cell 1 half open vertical bar CE with rightwards arrow on top close vertical bar end cell row ZE equals cell 1 half CE end cell row cell ZE over CE end cell equals cell 1 half space space space open parentheses ingat space CZ equals CE minus ZE close parentheses end cell row cell CZ over ZE end cell equals cell fraction numerator 2 minus 1 over denominator 1 end fraction end cell row cell CZ over ZE end cell equals cell 1 over 1 end cell row cell CZ space colon space ZE end cell equals cell 1 space colon space 1 end cell end table end style$

Dengan demikian, diperoleh dan .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Tentukan koordinat titik M dari soal-soal berikut. d. Titik M terletak di perpanjangan S ( 1 , − 3 , − 1 ) dan R ( − 5 , 6 , 11 ) dengan perbandingan SM : MR = 7 : − 1 .

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik K ( 3 , 1 , − 4 ) , L ( 2 , − 6 , 8 ) dan M ( 2 , 8 , 4 ) . Jika titik P membagi KL sehingga KP : PL = 2 : 3 , vektor yang diwakili oleh PM adalah …

4.0

Jawaban terverifikasi

Jika titik A ( − 1 , 3 , − 2 ) dan B ( 2 , 9 , 1 ) , koordinat titik P terletak di luar garis AB dengan perbandingan AP : PB = 5 : ( − 2 ) . Tentukan koordinat titik P!

3.8

Jawaban terverifikasi

Diketahui koordinat titik A ( − 4 , 3 ) dan B ( 0 , 3 ) . Titik C membagi garis yang melalui titik A dan B di luardengan perbandingan 3 : 1 . Koordinat titik C adalah ...

4.5

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A ( 1 , − 1 , 2 ) , B ( 4 , 5 , 2 ) , dan C ( 1 , 0 , 4 ) . Titik D terletak pada AB sehingga AD : DB = 2 : 1 . Panjang CD adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi