Pertanyaan

Diketahui titik A(3,-6,5) dan B(-1,2,1). Titik C terletak pada perpanjangan AB sehingga CB : BA = 3 : 4. Jika a , b , d an c masing-masing menyatakan vektor posisi dari titik A, B, dan C, maka besar sudut yang dibentuk oleh vektor posisi b d an c adalah ....

Diketahui titik A(3,-6,5) dan B(-1,2,1). Titik C terletak pada perpanjangan AB sehingga CB : BA = 3 : 4. Jika $a, b, d an c$ masing-masing menyatakan vektor posisi dari titik A, B, dan C, maka besar sudut yang dibentuk oleh vektor posisi $b d an c$ adalah ....

A. Rizky

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah B.

Pembahasan

Karena titik C terletak pada perpanjangan AB dan CB : BA = 3 : 4, maka didapatkan ilustrasi sebagai berikut Misalkan koordinat titik C adalah (x, y, z). Jika masing-masing menyatakan vektor posisi dari titik A, B, dan C, maka didapat bahwa Perhatikan bahwa CB : BA = m : n = 3 : 4 Maka dapat diperoleh m = 3 dan n = 4. Oleh karena itu, didapat bahwa Sehingga didapat x=-4, y=8, dan z=-2. Maka koordinat dari titik C adalah (-4,8,-2). Kemudian, didapat bahwa dan . Misalkan α adalah sudut yang dibentuk oleh vektor posisi . Oleh karena itu, didapatkan Karena dan , maka Kemudian, didapatkan pula bahwa dan Oleh karena itu, didapatkan bahwa Jadi, jawaban yang tepat adalah B.

Karena titik C terletak pada perpanjangan AB dan CB : BA = 3 : 4, maka didapatkan ilustrasi sebagai berikut

Misalkan koordinat titik C adalah (x, y, z).

Jika masing-masing menyatakan vektor posisi dari titik A, B, dan C, maka didapat bahwa

Perhatikan bahwa
CB : BA = m : n = 3 : 4
Maka dapat diperoleh m = 3 dan n = 4.

Oleh karena itu, didapat bahwa

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell b with rightwards arrow on top end cell equals cell fraction numerator m a with rightwards arrow on top plus n c with rightwards arrow on top over denominator m plus n end fraction end cell row cell open parentheses table row cell negative 1 end cell row 2 row 1 end table close parentheses end cell equals cell fraction numerator 3 open parentheses table row 3 row cell negative 6 end cell row 5 end table close parentheses plus 4 open parentheses table row x row y row z end table close parentheses over denominator 3 plus 4 end fraction end cell row cell open parentheses table row cell negative 1 end cell row 2 row 1 end table close parentheses end cell equals cell fraction numerator open parentheses table row 9 row cell negative 18 end cell row 15 end table close parentheses plus 4 open parentheses table row x row y row z end table close parentheses over denominator 7 end fraction end cell row cell 7 open parentheses table row cell negative 1 end cell row 2 row 1 end table close parentheses end cell equals cell open parentheses table row 9 row cell negative 18 end cell row 15 end table close parentheses plus 4 open parentheses table row x row y row z end table close parentheses end cell row cell open parentheses table row cell negative 7 end cell row 14 row 7 end table close parentheses end cell equals cell open parentheses table row 9 row cell negative 18 end cell row 15 end table close parentheses plus 4 open parentheses table row x row y row z end table close parentheses end cell row cell open parentheses table row cell negative 7 end cell row 14 row 7 end table close parentheses minus open parentheses table row 9 row cell negative 18 end cell row 15 end table close parentheses end cell equals cell 4 open parentheses table row x row y row z end table close parentheses end cell row cell open parentheses table row cell negative 16 end cell row 32 row cell negative 8 end cell end table close parentheses end cell equals cell 4 open parentheses table row x row y row z end table close parentheses end cell row cell 1 fourth open parentheses table row cell negative 16 end cell row 32 row cell negative 8 end cell end table close parentheses end cell equals cell open parentheses table row x row y row z end table close parentheses end cell row cell open parentheses table row x row y row z end table close parentheses end cell equals cell open parentheses table row cell negative 4 end cell row 8 row cell negative 2 end cell end table close parentheses end cell end table end style$

Sehingga didapat x=-4, y=8, dan z=-2.
Maka koordinat dari titik C adalah (-4,8,-2).

Kemudian, didapat bahwa begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top equals open parentheses table row cell negative 1 end cell row 2 row 1 end table close parentheses end style dan begin mathsize 14px style c with rightwards arrow on top equals open parentheses table row cell negative 4 end cell row 8 row cell negative 2 end cell end table close parentheses end style . Misalkan α adalah sudut yang dibentuk oleh vektor posisi . Oleh karena itu, didapatkan $begin mathsize 14px style cos space alpha equals fraction numerator b with rightwards arrow on top times c with rightwards arrow on top over denominator open vertical bar b with rightwards arrow on top close vertical bar open vertical bar c with rightwards arrow on top close vertical bar end fraction end style$

Karena begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top equals open parentheses table row cell negative 1 end cell row 2 row 1 end table close parentheses end style dan begin mathsize 14px style c with rightwards arrow on top equals open parentheses table row cell negative 4 end cell row 8 row cell negative 2 end cell end table close parentheses end style , maka

Kemudian, didapatkan pula bahwa

dan

Oleh karena itu, didapatkan bahwa

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos space alpha end cell equals cell fraction numerator b with rightwards arrow on top times c with rightwards arrow on top over denominator open vertical bar b with rightwards arrow on top close vertical bar open vertical bar c with rightwards arrow on top close vertical bar end fraction end cell row cell cos space alpha end cell equals cell fraction numerator 18 over denominator square root of 6 times 2 square root of 21 end fraction end cell row cell cos space alpha end cell equals cell fraction numerator 18 over denominator 2 square root of 126 end fraction end cell row cell cos space alpha end cell equals cell fraction numerator 9 over denominator square root of 126 end fraction end cell row cell cos space alpha end cell equals cell fraction numerator 9 over denominator 3 square root of 14 end fraction end cell row cell cos space alpha end cell equals cell fraction numerator 3 over denominator square root of 14 end fraction end cell row cell cos space alpha end cell equals cell fraction numerator 3 over denominator square root of 14 end fraction times fraction numerator square root of 14 over denominator square root of 14 end fraction end cell row cell cos space alpha end cell equals cell 3 over 14 square root of 14 end cell row alpha equals cell arccos space open parentheses 3 over 14 square root of 14 close parentheses end cell end table end style$

Jadi, jawaban yang tepat adalah B.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Titik-titik sudut segitiga ABC adalah A(0, 2, 7), B(3, 0, - 2 ), dan C(0, - 4 , 7). Titik D berada pada perpanjangan garis BC sehingga BD : CD = 2 : 5. Koordinat titik D adalah ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A(5, 4) dan B(6, 2). Jika titik D berada di perpanjangan AB sehingga AD : BD = 2 : 3, maka koordinat titik D adalah ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A(2,3,-5) dan B(6,-1,-1). Titik C terletak pada perpanjangan AB sehingga CA : AB = 3 : 4. Koordinat dari titik C adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A(-6, 7) dan B(6, 1). Jika titik R berada di antara titik A dan B sedemikian sehingga AR : RB = 2 : 1, maka koordinat titik R adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A(1, 3, 5) dan B(7, -1, 8). Jika titik D berada di perpanjangan AB sehingga AD : BD = 5 : 3, maka koordinat titik D adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi