Pertanyaan

Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A ( 4 , − 6 , 4 ) , B ( − 2 , 0 , 4 ) , dan C ( 0 , 2 , 8 ) .Dengan menggunakan rumus kosinus antara dua vektor, tentukan besar sudut-sudut berikut. a. sudut BAC

Diketahui segitiga $ABC$ dengan titik-titik sudut $A (4, - 6, 4), B (- 2, 0, 4)$ , dan $C (0, 2, 8)$ . Dengan menggunakan rumus kosinus antara dua vektor, tentukan besar sudut-sudut berikut.

a. sudut $BAC$

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

besar sudut BAC adalah 3 0 ∘ .

besar sudut

BAC

adalah

3 0^{\circ}

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah . Ingat! Jika diketahui titik A ( x 1 , y 1 , z 1 ) dan titik B ( x 2 , y 2 , z 2 ) .Maka, AB = OB − OA = ( x 2 − x 1 ) , ( y 2 − y 1 ) , ( z 2 − z 1 ) a ⋅ b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 ∣ ∣ a ∣ ∣ = x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 cos θ = ∣ a ∣ ∣ ∣ b ∣ ∣ a ⋅ b Sudut BAC merupakan sudut yang terbentuk antara vektor AB dan vektor AC cos ∠ BAC = ∣ ∣ AB ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ AC ∣ ∣ AB ⋅ AC Vektor AB AB = = = OB − OA ⎝ ⎛ − 2 − 4 0 − ( − 6 ) 4 − 4 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 6 6 0 ⎠ ⎞ Vektor AC AC = = = OC − OA ⎝ ⎛ 0 − 4 2 − ( − 6 ) 8 − 4 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 4 8 4 ⎠ ⎞ Menentukan nilai AB ⋅ AC AB ⋅ AC = = = ⎝ ⎛ − 6 6 0 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 4 8 4 ⎠ ⎞ 24 + 48 + 0 72 Menentukan nilai ∣ ∣ AB ∣ ∣ ∣ ∣ AB ∣ ∣ = = = = ( − 6 ) 2 + 6 2 + 0 36 + 36 36 ⋅ 2 6 2 Menentukan nilai ∣ ∣ AC ∣ ∣ ∣ ∣ AC ∣ ∣ = = = = = ( − 4 ) 2 + 8 2 + 4 2 16 + 64 + 16 96 16 ⋅ 6 4 6 Menentukan cos ∠ BAC c os ∠ BAC θ θ = = = = = = = = = ∣ ∣ AB ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ AC ∣ ∣ AB ⋅ AC 6 2 ⋅ 4 6 72 24 12 72 4 ⋅ 3 3 2 3 3 × 3 3 2 ⋅ 3 3 3 2 3 arc cos 2 3 3 0 ∘ Dengan demikian, besar sudut BAC adalah 3 0 ∘ .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah $\mathbf{30}\boldsymbol\textdegree$ .

Ingat!

Jika diketahui titik $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ dan titik $B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ . Maka,

$AB = OB - OA = (x_{2} - x_{1}), (y_{2} - y_{1}), (z_{2} - z_{1})$
$a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}$
$∣ ∣ a ∣ ∣ = x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}$
$cos θ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ ∣ ∣ b ∣ ∣}$

Sudut $BAC$ merupakan sudut yang terbentuk antara vektor $AB$ dan vektor $AC$

$cos ∠ BAC = \frac{AB \cdot AC}{∣ ∣ AB ∣ ∣ \cdot ∣ ∣ AC ∣ ∣}$

Vektor $AB$

$AB = = = OB - OA ⎝ ⎛ - 2 - 4 0 - (- 6) 4 - 4 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ - 6 60 ⎠ ⎞$

Vektor $AC$

$AC = = = OC - OA ⎝ ⎛ 0 - 4 2 - (- 6) 8 - 4 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ - 4 84 ⎠ ⎞$

Menentukan nilai $AB \cdot AC$

$AB \cdot AC = = = ⎝ ⎛ - 6 60 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ - 4 84 ⎠ ⎞ 24 + 48 + 0 72$

Menentukan nilai $∣ ∣ AB ∣ ∣$

$∣ ∣ AB ∣ ∣ = = = = (- 6)^{2} + 6^{2} + 0 36 + 36 36 \cdot 2 62$

Menentukan nilai $∣ ∣ AC ∣ ∣$

$∣ ∣ AC ∣ ∣ = = = = = (- 4)^{2} + 8^{2} + 4^{2} 16 + 64 + 16 96 16 \cdot 6 46$

Menentukan $cos ∠ BAC$

$c os ∠ BAC θ θ = = = = = = = = = \frac{AB \cdot AC}{∣ ∣ AB ∣ ∣ \cdot ∣ ∣ AC ∣ ∣} \frac{72}{6 2 \cdot 4 6} \frac{72}{24 12} \frac{3}{4 \cdot 3} \frac{3}{2 3} \times \frac{3}{3} \frac{3 3}{2 \cdot 3} \frac{3}{2} arc cos \frac{3}{2} 3 0^{\circ}$

Dengan demikian, besar sudut $BAC$ adalah $3 0^{\circ}$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh vektor u = 6 i + 4 j − 4 k danvektor v = 4 i − 5 j + k .

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A ( 1 , − 3 , 2 ) , B ( 2 , − 6 , 7 ) ,dan C ( 4 , − 5 , 1 ) . Tentukan besar sudut-sudut dalam segitiga ABC tersebut.

4.2

Jawaban terverifikasi

Diketahui vektor u = ⎝ ⎛ 1 2 1 ⎠ ⎞ dan v = ⎝ ⎛ 0 − 1 0 ⎠ ⎞ . Jika θ adalah sudut antara u dan v , nilai cos θ adalah ....

4.3

Jawaban terverifikasi

Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A ( 4 , − 6 , 4 ) , B ( − 2 , 0 , 4 ) dan C ( 0 , 2 , 8 ) .Dengan menggunakan rumus kosinus antara dua vektor, tentukan besar sudut-sudut berikut. b....

4.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui balok ABCD . EFGH dengan AB = 2 cm , BC = 3 cm , dan AE = 4 cm . Jika AC adalah wakil untuk vektor u dan DH adalah wakil vektor v , maka sudut antara vektor u dan v adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi