Pertanyaan

Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A ( 1 , − 3 , 2 ) , B ( 2 , − 6 , 7 ) ,dan C ( 4 , − 5 , 1 ) . Tentukan besar sudut-sudut dalam segitiga ABC tersebut.

Diketahui segitiga $ABC$ dengan titik-titik sudut $A (1, - 3, 2), B (2, - 6, 7)$ , dan $C (4, - 5, 1)$ . Tentukan besar sudut-sudut dalam segitiga $ABC$ tersebut.

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

besar sudut-sudut segitiga ABC seperti tersebut diatas.

besar sudut-sudut segitiga

ABC

seperti tersebut diatas.

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah , , dan . Untuk menentukan besar sudut dengan menggunakan vektor, ingat rumus-rumus berikut. Jika diketahui titik A ( x 1 , y 1 , z 1 ) dan B ( x 2 , y 2 , z 2 ) , maka: AB = OB − OA = ⎝ ⎛ x 2 − x 1 y 2 − y 1 z 2 − z 1 ⎠ ⎞ ∣ ∣ AB ∣ ∣ = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2 a ⋅ b ⇀ = ( x 1 ⋅ x 2 ) + ( y 1 ⋅ y 2 ) + ( z 1 ⋅ z 2 ) cos θ = ∣ ∣ a ∣ ∣ ∣ ∣ b ∣ ∣ a ⋅ b Pada soal ditanyakanbesar sudut-sudut dalam segitiga ABC jika diketahui titik sudut A ( 1 , − 3 , 2 ) , B ( 2 , − 6 , 7 ) ,dan C ( 4 , − 5 , 1 ) . Berarti ditanyakan sudut ABC , sudut ACB ,dan sudut BAC . 1. Besar sudut ABC . Sudut ABC terbentuk dari vektor BA dan vektor BC . Menentukanvektor BA dan vektor BC . BA = OA − OB = ⎝ ⎛ 1 − 3 2 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ 2 − 6 7 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ − 1 3 − 5 ⎠ ⎞ BC = OC − OB = ⎝ ⎛ 4 − 5 1 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ 2 − 6 7 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 2 1 − 6 ⎠ ⎞ Menentukan besar sudut ABC cos θ θ θ = = = = = = ≈ ∣ ∣ BA ∣ ∣ ∣ BC ∣ BA ⋅ BC ( ( − 1 ) 2 + 3 2 + ( − 5 ) 2 ) ( 2 2 + 1 2 + ( − 6 ) 2 ) ( − 1 3 − 5 ) ( 2 1 − 6 ) ( 1 + 9 + 25 ) ( 4 + 1 + 36 ) − 2 + 3 + 30 35 41 31 1435 31 arc cos 1435 31 35 , 0 7 ∘ Jadi, besar sudut ABC ≈ 35 , 0 7 ∘ . 2. Besarsudut ACB . Sudut ACB terbentuk dari vektor CA dan vektor CB . Menentukanvektor CA dan vektor CB . CA = OA − OC = ⎝ ⎛ 1 − 3 2 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ 4 − 5 1 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ − 3 2 1 ⎠ ⎞ CB = OB − OC = ⎝ ⎛ 2 − 6 7 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ 4 − 5 1 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ − 2 − 1 6 ⎠ ⎞ Menentukan besarsudut ACB . cos θ θ θ = = = = = = ≈ ∣ ∣ CA ∣ ∣ ∣ ∣ CB ∣ ∣ CA ⋅ CB ( ( − 3 ) 2 + 2 2 + 1 2 ) ( ( − 2 ) 2 + ( − 1 ) 2 + 6 2 ) ( − 3 2 1 ) ( − 2 − 1 6 ) ( 9 + 4 + 1 ) ( 4 + 1 + 36 ) 6 + ( − 1 ) + 6 14 41 11 574 11 arc cos 574 11 62 , 6 1 ∘ Jadi, besar sudut ACB ≈ 62 , 6 1 ∘ . 3. Besarsudut BAC . Sudut BAC terbentuk dari vektor AB dan vektor AC . Menentukanvektor AB dan vektor AC . AB = OB − OA = ⎝ ⎛ 2 − 6 7 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ 1 − 3 2 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 1 − 3 5 ⎠ ⎞ AC = OC − OA = ⎝ ⎛ 4 − 5 1 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ 1 − 3 2 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 3 − 2 − 1 ⎠ ⎞ Menentukan besarsudut BAC . cos θ θ θ = = = = = = = = = = ≈ ∣ ∣ AB ∣ ∣ ∣ ∣ AC ∣ ∣ AB ⋅ AC ( 1 2 + ( − 3 ) 2 + 5 2 ) ( 3 2 + ( − 2 ) 2 + ( − 1 ) 2 ) ( 1 − 3 5 ) ( 3 − 2 − 1 ) ( 1 + 9 + 25 ) ( 9 + 4 + 1 ) 3 + 6 − 5 35 14 4 490 4 49 ⋅ 10 4 7 10 4 × 10 10 7 ⋅ 10 4 10 35 2 10 arc cos 35 2 10 79 , 6 0 ∘ Jadi besarsudut . Dengan demikian, besar sudut-sudut segitiga ABC seperti tersebut diatas.

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah $\mathbf m\boldsymbol\angle\mathbf{ABC}\boldsymbol\approx\mathbf{35}\boldsymbol,\mathbf{07}\boldsymbol\textdegree$ , $\mathbf m\boldsymbol\angle\mathbf{ACB}\boldsymbol\approx\mathbf{62}\boldsymbol,\mathbf{61}\boldsymbol\textdegree$ , dan $\mathbf m\boldsymbol\angle\mathbf{BAC}\boldsymbol\approx\mathbf{79}\boldsymbol,\mathbf{60}\boldsymbol\textdegree$ .

Untuk menentukan besar sudut dengan menggunakan vektor, ingat rumus-rumus berikut.

Jika diketahui titik $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ dan $B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ , maka:

$AB = OB - OA = ⎝ ⎛ x_{2} - x_{1} y_{2} - y_{1} z_{2} - z_{1} ⎠ ⎞$
$∣ ∣ AB ∣ ∣ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}$
$a \cdot b ⇀ = (x_{1} \cdot x_{2}) + (y_{1} \cdot y_{2}) + (z_{1} \cdot z_{2})$
$cos θ = \frac{a \cdot b}{∣ ∣ a ∣ ∣ ∣ ∣ b ∣ ∣}$

Pada soal ditanyakan besar sudut-sudut dalam segitiga $ABC$ jika diketahui titik sudut $A (1, - 3, 2), B (2, - 6, 7)$ , dan $C (4, - 5, 1)$ . Berarti ditanyakan sudut $ABC$ , sudut $ACB$ , dan sudut $BAC$ .

1. Besar sudut $ABC$ . Sudut $ABC$ terbentuk dari vektor $BA$ dan vektor $BC$ .

Menentukan vektor $BA$ dan vektor $BC$ .

$BA = OA - OB = ⎝ ⎛ 1 - 3 2 ⎠ ⎞ - ⎝ ⎛ 2 - 6 7 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ - 1 3 - 5 ⎠ ⎞$

$BC = OC - OB = ⎝ ⎛ 4 - 5 1 ⎠ ⎞ - ⎝ ⎛ 2 - 6 7 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 21 - 6 ⎠ ⎞$

Menentukan besar sudut $ABC$

$cos θ θ θ = = = = = = \approx \frac{BA \cdot BC}{∣ ∣ BA ∣ ∣ ∣ BC ∣} \frac{( - 1 3 - 5 ) ( 2 1 - 6 )}{( ( - 1 ) ^{2} + 3 ^{2} + ( - 5 ) ^{2} ) ( 2 ^{2} + 1 ^{2} + ( - 6 ) ^{2} )} \frac{- 2 + 3 + 30}{( 1 + 9 + 25 ) ( 4 + 1 + 36 )} \frac{31}{35 41} \frac{31}{1435} arc cos \frac{31}{1435} 35, 0 7^{\circ}$

Jadi, besar sudut $ABC \approx 35, 0 7^{\circ}$ .

2. Besar sudut $ACB$ . Sudut $ACB$ terbentuk dari vektor $CA$ dan vektor $CB$ .

Menentukan vektor $CA$ dan vektor $CB$ .

$CA = OA - OC = ⎝ ⎛ 1 - 3 2 ⎠ ⎞ - ⎝ ⎛ 4 - 5 1 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ - 3 21 ⎠ ⎞$

$CB = OB - OC = ⎝ ⎛ 2 - 6 7 ⎠ ⎞ - ⎝ ⎛ 4 - 5 1 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ - 2 - 1 6 ⎠ ⎞$

Menentukan besar sudut $ACB$ .

$cos θ θ θ = = = = = = \approx \frac{CA \cdot CB}{∣ ∣ CA ∣ ∣ ∣ ∣ CB ∣ ∣} \frac{( - 3 2 1 ) ( - 2 - 1 6 )}{( ( - 3 ) ^{2} + 2 ^{2} + 1 ^{2} ) ( ( - 2 ) ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + 6 ^{2} )} \frac{6 + ( - 1 ) + 6}{( 9 + 4 + 1 ) ( 4 + 1 + 36 )} \frac{11}{14 41} \frac{11}{574} arc cos \frac{11}{574} 62, 6 1^{\circ}$

Jadi, besar sudut $ACB \approx 62, 6 1^{\circ}$ .

3. Besar sudut $BAC$ . Sudut $BAC$ terbentuk dari vektor $AB$ dan vektor $AC$ .

Menentukan vektor $AB$ dan vektor $AC$ .

$AB = OB - OA = ⎝ ⎛ 2 - 6 7 ⎠ ⎞ - ⎝ ⎛ 1 - 3 2 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 1 - 3 5 ⎠ ⎞$

$AC = OC - OA = ⎝ ⎛ 4 - 5 1 ⎠ ⎞ - ⎝ ⎛ 1 - 3 2 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 3 - 2 - 1 ⎠ ⎞$

Menentukan besar sudut $BAC$ .

$cos θ θ θ = = = = = = = = = = \approx \frac{AB \cdot AC}{∣ ∣ AB ∣ ∣ ∣ ∣ AC ∣ ∣} \frac{( 1 - 3 5 ) ( 3 - 2 - 1 )}{( 1 ^{2} + ( - 3 ) ^{2} + 5 ^{2} ) ( 3 ^{2} + ( - 2 ) ^{2} + ( - 1 ) ^{2} )} \frac{3 + 6 - 5}{( 1 + 9 + 25 ) ( 9 + 4 + 1 )} \frac{4}{35 14} \frac{4}{490} \frac{4}{49 \cdot 10} \frac{4}{7 10} \times \frac{10}{10} \frac{4 10}{7 \cdot 10} \frac{2 10}{35} arc cos \frac{2 10}{35} 79, 6 0^{\circ}$

Jadi besar sudut $\mathrm{BAC}\begin{array}{rcl}&\approx&\end{array}\begin{array}{rcl}&&79\end{array}\begin{array}{rcl}&&,\end{array}\begin{array}{rcl}&&60\end{array}\begin{array}{rcl}&&\textdegree\end{array}$ .

Dengan demikian, besar sudut-sudut segitiga $ABC$ seperti tersebut diatas.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.2 (4 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui vektor a = 4 i − 2 j + 2 k dan vektor b = i + j + 2 k . Sudut antara vektor a dan b adalah ....

4.6

Jawaban terverifikasi

Misalkan titik O ( 0 , 0 , 0 ) bertindak sebagai titik pangkal. Tentukan besar sudut POQ untuk tiap pasang titik P dan titik Q berikut. b. P ( 1 , − 1 , 2 ) dan Q ( 1 , 0 , 1 )

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui balok ABCD . EFGH dengan AB = 2 cm , BC = 3 cm , dan AE = 4 cm . Jika AC adalah wakil untuk vektor u dan DH adalah wakil vektor v , maka sudut antara vektor u dan v adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Misalkan titik O ( 0 , 0 , 0 ) bertindak sebagai titik pangkal. Tentukan besar sudut POQ untuk tiap pasang titik P dan titik Q berikut. a. P ( 3 , − 3 , 0 ) dan Q ( 3 , 0 , 3 )

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan titik A ( 3 , 0 , 0 ) , C ( 0 , 7 , 0 ) , D ( 0 , 0 , 0 ) , F ( 3 , 7 , 4 ) , dan H ( 0 , 0 , 4 ) . Sudut antara vektor DH dan DF adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi