Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(4,−6,4), B(−2,0,4) dan C(0,2,8). Dengan menggunakan rumus kosinus antara dua vektor, tentukan besar sudut-sudut berikut. b. sudut ABC

Pertanyaan

Diketahui segitiga $\mathrm{ABC}$ dengan titik-titik sudut $\mathrm A(4,-6,4),\;\mathrm B(-2,0,4)$ dan $\mathrm C(0,2,8)$ . Dengan menggunakan rumus kosinus antara dua vektor, tentukan besar sudut-sudut berikut.

b. sudut $\mathrm{ABC}$

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

besar sudut $\mathrm{ABC}$ adalah $90^\circ$ .

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah $\mathbf{90}\boldsymbol\textdegree$ .

Ingat !

Jika diketahui titik $\mathrm A\begin{pmatrix}x_1,y_1,z_1\end{pmatrix}$ dan $\mathrm B\begin{pmatrix}x_2,y_2,z_2\end{pmatrix}$ , maka:

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(x_2-x_1),\left(y_2-y_1\right),\left(z_2-z_1\right)$
$\left|\overrightarrow a\right|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}$
$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos theta end cell equals cell fraction numerator a with rightwards arrow on top times b with rightwards arrow on top over denominator open vertical bar a with rightwards arrow on top close vertical bar open vertical bar b with rightwards arrow on top close vertical bar end fraction end cell end table$

Sudut $\mathrm{ABC}$ adalah sudut yang terbentuk antara vektor $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ dan vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ .

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos space ABC end cell equals cell fraction numerator BA with rightwards arrow on top times BC with rightwards arrow on top over denominator open vertical bar BA with rightwards arrow on top close vertical bar open vertical bar BC with rightwards arrow on top close vertical bar end fraction end cell end table$

Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathrm{BA}}&=&\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\\&=&\begin{pmatrix}4-(-2)\\-6-0\\4-4\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}6\\-6\\0\end{pmatrix}\;\end{array}$

Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathrm{BC}}&=&\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\\&=&\begin{pmatrix}0-(-2)\\2-0\\8-4\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}\end{array}$

Menentukan $\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}&=&\begin{pmatrix}6\\-6\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}\\&=&{12+(-12)+0}\\&=&0\end{array}$

Panjang vektor $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$

$\begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow{\mathrm{BA}}\right|&=&\sqrt{6^2+\left(-6\right)^2+0^2}\\&=&\sqrt{36+36+0}\\&=&\sqrt{36\cdot2}\\&=&6\sqrt2\end{array}$

Panjang vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathrm{BC}}&=&\sqrt{2^2+2^2+4^2}\\&=&\sqrt{4+4+16}\\&=&\sqrt{24}\\&=&\sqrt{4\cdot6}\\&=&2\sqrt6\end{array}$

Menentukan $\begin{array}{rcl}&&\cos\angle\mathrm{ABC}\end{array}$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos angle ABC end cell equals cell fraction numerator BA with rightwards arrow on top times BC with rightwards arrow on top over denominator open vertical bar BA with rightwards arrow on top close vertical bar open vertical bar BC with rightwards arrow on top close vertical bar end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 0 over denominator 6 square root of 2 cross times 2 square root of 6 end fraction end cell row blank equals 0 row theta equals cell arc space cos space 0 end cell row theta equals cell 90 degree end cell end table$

Dengan demikian, besar sudut $\mathrm{ABC}$ adalah $90^\circ$ .

4.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Misalkan titik O(0,0,0) bertindak sebagai titik pangkal. Tentukan besar sudut POQ untuk tiap pasang titik P dan titik Q berikut. c. P(1,2,5) dan Q(−2,1,2130)

0.0

Jawaban terverifikasi

Jika θ adalah besar sudut antara vektor a dan vektor b. Hitunglah nilai cosθ dari pasangan-pasangan vektor a dan vektor b berikut. d. a=−i−j dan b=−i+2j+k

4.5

Jawaban terverifikasi

Jika besar sudut antara vektor a=i+2j+xk dan b=i−2j+xk adalah 31π radian, nilai x yang memenuhi adalah ....

227

5.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh dua vektor berikut: Vektor u=4i+7j+4k dan vektor v=6i+5j+3k.

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(4,−6,4), B(−2,0,4), dan C(0,2,8). Dengan menggunakan rumus kosinus antara dua vektor, tentukan besar sudut-sudut berikut. a. sudut BAC

112

4.0

Jawaban terverifikasi