Pertanyaan

Diketahui persamaan garis singgung kurva y = − a x 2 − b x + 3 pada titik (1, 1) tegak lurus dengan garis 6 y − x + 7 = 0 . Tentukan nilai a 2 + b 2 .

Diketahui persamaan garis singgung kurva $y = - a x^{2} - b x + 3$ pada titik (1, 1) tegak lurus dengan garis $6 y - x + 7 = 0$ . Tentukan nilai $a^{2} + b^{2}$ . $\;$

I. Ridha

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Surabaya

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai adalah 20.

nilai

adalah 20. space

Pembahasan

Ingat kembali: Jika garis tegak lurus dengan garis , maka Gradien persamaan garis adalah Gradien persamaan garis singgung kurva merupakan turunan pertama kurva tersebut, yaitu Oleh karena diketahui kurva , maka gradien dari persamaan garis singgung kurva adalah Oleh karena bentukgaris dapat diubah menjadi maka diperoleh gradien dari garis tersebut adalah Oleh karena garis singgung kurva dan garis saling tegak lurus, maka diperoleh Dengan menyubtitusikan nilai titik (1, 1) ke diperoleh Dengan mengeliminasi b dari (1) dan (2), diperoleh Dengan menyubtitusi ke (2), diperoleh Dengan demikian, diperoleh Jadi,nilai adalah 20.

Ingat kembali:

Jika garis tegak lurus dengan garis , maka
Gradien persamaan garis adalah
Gradien persamaan garis singgung kurva merupakan turunan pertama kurva tersebut, yaitu

Oleh karena diketahui kurva y equals negative a x squared minus b x plus 3 , maka gradien dari persamaan garis singgung kurva adalah

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell m subscript 1 end cell equals cell 2 open parentheses negative a close parentheses plus open parentheses negative b close parentheses end cell row blank equals cell negative 2 a minus b end cell end table

Oleh karena bentuk garis 6 y minus x plus 7 equals 0 dapat diubah menjadi

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 6 y minus x plus 7 end cell equals 0 row cell 6 y end cell equals cell x minus 7 end cell row y equals cell fraction numerator x minus 7 over denominator 6 end fraction end cell row y equals cell 1 over 6 x minus 7 over 6 end cell end table$

maka diperoleh gradien dari garis tersebut adalah

m subscript 2 equals 1 over 6

Oleh karena garis singgung kurva y equals negative a x squared minus b x plus 3 dan garis 6 y minus x plus 7 equals 0 saling tegak lurus, maka diperoleh

Dengan menyubtitusikan nilai titik (1, 1) ke y equals negative a x squared minus b x plus 3 diperoleh

Dengan mengeliminasi b dari (1) dan (2), diperoleh

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell table row cell 2 a plus b equals 6 a plus b equals 2 end cell row cell a equals 4 end cell end table table row blank row minus end table end cell end table

Dengan menyubtitusi a equals 4 ke (2), diperoleh

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 4 plus b end cell equals 2 row b equals cell 2 minus 4 end cell row b equals cell negative 2 end cell end table

Dengan demikian, diperoleh

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell a squared plus b squared end cell equals cell 4 squared plus open parentheses negative 2 close parentheses squared end cell row blank equals cell 16 plus 4 end cell row blank equals 20 end table

Jadi, nilai a squared plus b squared adalah 20. space