Pertanyaan

Diketahui a , b , dan c merupakan rusuk-rusuk △ ABC dan L adalah luas △ ABC . Buktikan bahwa : a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 L 3

Diketahui $a, b, dan c$ merupakan rusuk-rusuk $△ ABC$ dan $L$ adalah luas $△ ABC$ . Buktikan bahwa : $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 4 L 3$

O. Rahmawati

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni UIN Sunan Gunung Djati Bandung

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Kita dapat membuktikan dengan aturan cosinus dan rumus luas segitiga untuk menyelesaikan masalah tersebut. Misalkan ketiga sudut tersebut adalah A , B , dan C masing-masing berlawanan dengan sisi a , b , dan c . Aturan cosinus: c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos C Luas segitiga: L = 2 1 ab sin C Pembuktian: a 2 + b 2 + c 2 a 2 + b 2 + c 2 − 4 L 3 a 2 + b 2 + ( a 2 + b 2 − 2 ab cos C ) − 4 ( 2 1 ab sin C ) 2 a 2 + 2 b 2 − 2 ab cos C − 2 ab sin C 2 [ a 2 + b 2 − ab cos C − ab sin C ] 2 [ a 2 + b 2 − 2 ab sin ( 6 π + C ) ] 2 ( a 2 + b 2 − 2 ab ) 2 ( a − b ) 2 ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ 4 L 3 0 0 0 0 0 0 0 ketika sin ( 6 π + C ) ≥ 1 . Tanda samadengan berlaku jika a = b dan sin ( 6 π + C ) = 1 , sehingga sin ( 6 π + C ) = 1 yang menyiratkan bahwa a = b , C = 3 π , atau a = b = c . Jadi, terbukti bahwa a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 L 3 .

Kita dapat membuktikan dengan aturan cosinus dan rumus luas segitiga untuk menyelesaikan masalah tersebut. Misalkan ketiga sudut tersebut adalah $A, B, dan C$ masing-masing berlawanan dengan sisi $a, b, dan c$ .

Aturan cosinus: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$
Luas segitiga: $L = \frac{1}{2} ab sin C$

Pembuktian:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} a^{2} + b^{2} + c^{2} - 4 L 3 a^{2} + b^{2} + (a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C) - 4 (\frac{1}{2} ab sin C) 2 a^{2} + 2 b^{2} - 2 ab cos C - 2 ab sin C 2 [a^{2} + b^{2} - ab cos C - ab sin C] 2 [a^{2} + b^{2} - 2 ab sin (\frac{π}{6} + C)] 2 (a^{2} + b^{2} - 2 ab) 2 (a - b)^{2} \geq \geq \geq \geq \geq \geq \geq \geq 4 L 3 0000000$

ketika $sin (\frac{π}{6} + C) \geq 1$ . Tanda sama dengan berlaku jika $a = b$ dan $sin (\frac{π}{6} + C) = 1$ , sehingga $sin (\frac{π}{6} + C) = 1$ yang menyiratkan bahwa $a = b, C = \frac{π}{3}, atau a = b = c$ .