Pertanyaan

Diketahui kubus satuan ABCD.EFGH. Misalkan vektor-vektor AB = i = ( 1 , 0 , 0 ) ; AD = j = ( 0 , 1 , 0 ) ; AE = k = ( 0 , 0 , 1 ) . Titik P adalah titik pusat sisi BCGF. Tentukan proyeksi FP pada vektor AC .

Diketahui kubus satuan ABCD.EFGH. Misalkan vektor-vektor $AB = i = (1, 0, 0)$ ; $AD = j = (0, 1, 0)$ ; $AE = k = (0, 0, 1)$ . Titik P adalah titik pusat sisi BCGF. Tentukan proyeksi $FP$ pada vektor $AC$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

A. Acfreelance

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

proyeksi FP pada vektor AC adalah ( 4 1 , 4 1 , 0 ) .

proyeksi

FP

pada vektor

AC

adalah

(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, 0)

Pembahasan

Ilustrasi gambar kubus yang dimaksud pada soal adalah sebagai berikut: Ingat bahwa jika diketahui vektor u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) dan v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) , maka perkalian titik (dot product)antara u dan v mengikuti rumus berikut: u ⋅ v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 Panjang vektor v dapat dicari dengan rumus berikut: ∣ ∣ v ∣ ∣ = v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 Proyeksi vektor u pada v dapat dicari dengan rumus berikut: u v = ∣ ∣ v ∣ ∣ 2 u ⋅ v v Menentukan vektor FP dan AC : Dari ilustrasi, diketahui bahwa BC = = AD ( 0 , 1 , 0 ) FB = = = = EA − AE − ( 0 , 0 , 1 ) ( 0 , 0 , − 1 ) Maka vektor AC dapat diperoleh dari penjumlahan dua vektor secara aljabar sebagaimana perhitungan berikut: AC = = = AB + BC ( 1 , 0 , 0 ) + ( 0 , 1 , 0 ) ( 1 , 1 , 0 ) Sedangkanvektor FP dapat diperoleh dari vektor FC , yaitu: FC = = = FB + BC ( 0 , 0 , − 1 ) + ( 0 , 1 , 0 ) ( 0 , 1 , − 1 ) Sehingga, FP = = = 2 1 FC 2 1 ( 0 , 1 , − 1 ) ( 0 , 2 1 , − 2 1 ) Proyeksi FP pada vektor AC , yaitu: q = = = = = = ∣ ∣ AC ∣ ∣ 2 FP ⋅ AC AC ∣ ( 1 , 1 , 0 ) ∣ 2 ( 0 , 2 1 , − 2 1 ) ⋅ ( 1 , 1 , 0 ) ( 1 , 1 , 0 ) ( 1 2 + 1 2 + 0 2 ) 2 ( 0 ) ( 1 ) + ( 2 1 ) ( 1 ) + ( − 2 1 ) ( 0 ) ( 1 , 1 , 0 ) 2 2 1 ( 1 , 1 , 0 ) 4 1 ( 1 , 1 , 0 ) ( 4 1 , 4 1 , 0 ) Dengan demikian, proyeksi FP pada vektor AC adalah ( 4 1 , 4 1 , 0 ) .

Ilustrasi gambar kubus yang dimaksud pada soal adalah sebagai berikut:

Ingat bahwa jika diketahui vektor $u = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ dan $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ , maka perkalian titik (dot product) antara $u$ dan $v$ mengikuti rumus berikut:

$u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3}$

Panjang vektor $v$ dapat dicari dengan rumus berikut:

$∣ ∣ v ∣ ∣ = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}$

Proyeksi vektor $u$ pada $v$ dapat dicari dengan rumus berikut:

$u_{v} = \frac{u \cdot v}{∣ ∣ v ∣ ∣ ^{2}} v$

Menentukan vektor $FP$ dan $AC$ :

Dari ilustrasi, diketahui bahwa

$BC = = AD (0, 1, 0)$

$FB = = = = EA - AE - (0, 0, 1) (0, 0, - 1)$

Maka vektor $AC$ dapat diperoleh dari penjumlahan dua vektor secara aljabar sebagaimana perhitungan berikut:

$AC = = = AB + BC (1, 0, 0) + (0, 1, 0) (1, 1, 0)$

Sedangkan vektor $FP$ dapat diperoleh dari vektor $FC$ , yaitu:

$FC = = = FB + BC (0, 0, - 1) + (0, 1, 0) (0, 1, - 1)$

Sehingga,

$FP = = = \frac{1}{2} FC \frac{1}{2} (0, 1, - 1) (0, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

Proyeksi $FP$ pada vektor $AC$ , yaitu:

$q = = = = = = \frac{FP \cdot AC}{∣ ∣ AC ∣ ∣ ^{2}} AC \frac{( 0 , \frac{1}{2} , - \frac{1}{2} ) \cdot ( 1 , 1 , 0 )}{∣ ( 1 , 1 , 0 ) ∣ ^{2}} (1, 1, 0) \frac{( 0 ) ( 1 ) + ( \frac{1}{2} ) ( 1 ) + ( - \frac{1}{2} ) ( 0 )}{( 1 ^{2} + 1 ^{2} + 0 ^{2} ) ^{2}} (1, 1, 0) \frac{\frac{1}{2}}{2} (1, 1, 0) \frac{1}{4} (1, 1, 0) (\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, 0)$

Dengan demikian, proyeksi $FP$ pada vektor $AC$ adalah $(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, 0)$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui vektor a = 3 i + 5 j − 2 k , vektor b = − i − 2 j + 3 k dan vektor c = 2 i − j + 4 k . b.Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor b pada arah vektor ( a − 2 c ) .

4.2

Jawaban terverifikasi

Jika w adalah proyeksi vektor ortogonal dari vektor v = ⎝ ⎛ 2 − 3 4 ⎠ ⎞ terhadap vektor u = ⎝ ⎛ − 1 2 − 1 ⎠ ⎞ , maka w = ....

4.6

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A ( 1 , 2 , 2 ) , titik B ( 0 , 1 , 0 ) , dan titik C ( 2 , − 1 , − 1 ) . Tentukan ruas garis berarah AB dan ruas garis berarah AC dalam bentukvektor kolom. Tentukan proyeksi ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui segitiga ABC dengan titik A ( − 2 , 3 , 1 ) , B ( 1 , − 1 , 0 ) , dan C ( − 1 , 1 , 0 ) . Proyeksi vektor ortogonal dari AB terhadap AC adalah....

4.8

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A ( 2 , 3 , − 1 ) , titik B ( − 2 , − 4 , 3 ) , dan vektor p = 4 i − 3 j + k . b.Tentukan proyeksi vektorortogonal vektor p pada arah AB .

5.0

Jawaban terverifikasi