Diketahui kubus satuan ABCD.EFGH. Misalkan vektor-vektor AB = i = ( 1 , 0 , 0 ) ; AD = j = ( 0 , 1 , 0 ) ; AE = k = ( 0 , 0 , 1 ) . Titik P adalah titik pusat sisi BCGF. Tentukan proyeksi FP pada vektor AC .
Diketahui kubus satuan ABCD.EFGH. Misalkan vektor-vektor AB=i=(1,0,0); AD=j=(0,1,0); AE=k=(0,0,1). Titik P adalah titik pusat sisi BCGF. Tentukan proyeksi FP pada vektor AC.
Iklan
AA
A. Acfreelance
Master Teacher
Jawaban terverifikasi
Jawaban
proyeksi FP pada vektor AC adalah ( 4 1 , 4 1 , 0 ) .
proyeksi FP pada vektor AC adalah (41,41,0).
Iklan
Pembahasan
Ilustrasi gambar kubus yang dimaksud pada soal adalah sebagai berikut:
Ingat bahwa jika diketahui vektor u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) dan v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) , maka perkalian titik (dot product)antara u dan v mengikuti rumus berikut:
u ⋅ v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3
Panjang vektor v dapat dicari dengan rumus berikut:
∣ ∣ v ∣ ∣ = v 1 2 + v 2 2 + v 3 2
Proyeksi vektor u pada v dapat dicari dengan rumus berikut:
u v = ∣ ∣ v ∣ ∣ 2 u ⋅ v v
Menentukan vektor FP dan AC :
Dari ilustrasi, diketahui bahwa
BC = = AD ( 0 , 1 , 0 )
FB = = = = EA − AE − ( 0 , 0 , 1 ) ( 0 , 0 , − 1 )
Maka vektor AC dapat diperoleh dari penjumlahan dua vektor secara aljabar sebagaimana perhitungan berikut:
AC = = = AB + BC ( 1 , 0 , 0 ) + ( 0 , 1 , 0 ) ( 1 , 1 , 0 )
Sedangkanvektor FP dapat diperoleh dari vektor FC , yaitu:
FC = = = FB + BC ( 0 , 0 , − 1 ) + ( 0 , 1 , 0 ) ( 0 , 1 , − 1 )
Sehingga,
FP = = = 2 1 FC 2 1 ( 0 , 1 , − 1 ) ( 0 , 2 1 , − 2 1 )
Proyeksi FP pada vektor AC , yaitu:
q = = = = = = ∣ ∣ AC ∣ ∣ 2 FP ⋅ AC AC ∣ ( 1 , 1 , 0 ) ∣ 2 ( 0 , 2 1 , − 2 1 ) ⋅ ( 1 , 1 , 0 ) ( 1 , 1 , 0 ) ( 1 2 + 1 2 + 0 2 ) 2 ( 0 ) ( 1 ) + ( 2 1 ) ( 1 ) + ( − 2 1 ) ( 0 ) ( 1 , 1 , 0 ) 2 2 1 ( 1 , 1 , 0 ) 4 1 ( 1 , 1 , 0 ) ( 4 1 , 4 1 , 0 )
Dengan demikian, proyeksi FP pada vektor AC adalah ( 4 1 , 4 1 , 0 ) .
Ilustrasi gambar kubus yang dimaksud pada soal adalah sebagai berikut:
Ingat bahwa jika diketahui vektor u=(u1,u2,u3) dan v=(v1,v2,v3), maka perkalian titik (dot product) antara u dan v mengikuti rumus berikut:
u⋅v=u1v1+u2v2+u3v3
Panjang vektor v dapat dicari dengan rumus berikut:
∣∣v∣∣=v12+v22+v32
Proyeksi vektor u pada v dapat dicari dengan rumus berikut:
uv=∣∣v∣∣2u⋅vv
Menentukan vektor FP dan AC:
Dari ilustrasi, diketahui bahwa
BC==AD(0,1,0)
FB====EA−AE−(0,0,1)(0,0,−1)
Maka vektor AC dapat diperoleh dari penjumlahan dua vektor secara aljabar sebagaimana perhitungan berikut:
AC===AB+BC(1,0,0)+(0,1,0)(1,1,0)
Sedangkan vektor FP dapat diperoleh dari vektor FC, yaitu: