Iklan

Iklan

Pertanyaan

Diketahui kubus satuan ABCD.EFGH. Misalkan vektor-vektor AB = i = ( 1 , 0 , 0 ) ; AD = j ​ = ( 0 , 1 , 0 ) ; AE = k = ( 0 , 0 , 1 ) . Titik P adalah titik pusat sisi BCGF. Tentukan proyeksi FP pada vektor AC .

Diketahui kubus satuan ABCD.EFGH. Misalkan vektor-vektor . Titik P adalah titik pusat sisi BCGF. Tentukan proyeksi  pada vektor .

Iklan

A. Acfreelance

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

proyeksi FP pada vektor AC adalah ( 4 1 ​ , 4 1 ​ , 0 ) .

proyeksi  pada vektor  adalah .

Iklan

Pembahasan

Ilustrasi gambar kubus yang dimaksud pada soal adalah sebagai berikut: Ingat bahwa jika diketahui vektor u = ( u 1 ​ , u 2 ​ , u 3 ​ ) dan v = ( v 1 ​ , v 2 ​ , v 3 ​ ) , maka perkalian titik (dot product)antara u dan v mengikuti rumus berikut: u ⋅ v = u 1 ​ v 1 ​ + u 2 ​ v 2 ​ + u 3 ​ v 3 ​ Panjang vektor v dapat dicari dengan rumus berikut: ∣ ∣ ​ v ∣ ∣ ​ = v 1 2 ​ + v 2 2 ​ + v 3 2 ​ ​ Proyeksi vektor u pada v dapat dicari dengan rumus berikut: u v ​ ​ = ∣ ∣ ​ v ∣ ∣ ​ 2 u ⋅ v ​ v Menentukan vektor FP dan AC : Dari ilustrasi, diketahui bahwa BC ​ = = ​ AD ( 0 , 1 , 0 ) ​ FB ​ = = = = ​ EA − AE − ( 0 , 0 , 1 ) ( 0 , 0 , − 1 ) ​ Maka vektor AC dapat diperoleh dari penjumlahan dua vektor secara aljabar sebagaimana perhitungan berikut: AC ​ = = = ​ AB + BC ( 1 , 0 , 0 ) + ( 0 , 1 , 0 ) ( 1 , 1 , 0 ) ​ Sedangkanvektor FP dapat diperoleh dari vektor FC , yaitu: FC ​ = = = ​ FB + BC ( 0 , 0 , − 1 ) + ( 0 , 1 , 0 ) ( 0 , 1 , − 1 ) ​ Sehingga, FP ​ = = = ​ 2 1 ​ FC 2 1 ​ ( 0 , 1 , − 1 ) ( 0 , 2 1 ​ , − 2 1 ​ ) ​ Proyeksi FP pada vektor AC , yaitu: q ​ ​ = = = = = = ​ ∣ ∣ ​ AC ∣ ∣ ​ 2 FP ⋅ AC ​ AC ∣ ( 1 , 1 , 0 ) ∣ 2 ( 0 , 2 1 ​ , − 2 1 ​ ) ⋅ ( 1 , 1 , 0 ) ​ ( 1 , 1 , 0 ) ( 1 2 + 1 2 + 0 2 ​ ) 2 ( 0 ) ( 1 ) + ( 2 1 ​ ) ( 1 ) + ( − 2 1 ​ ) ( 0 ) ​ ( 1 , 1 , 0 ) 2 2 1 ​ ​ ( 1 , 1 , 0 ) 4 1 ​ ( 1 , 1 , 0 ) ( 4 1 ​ , 4 1 ​ , 0 ) ​ Dengan demikian, proyeksi FP pada vektor AC adalah ( 4 1 ​ , 4 1 ​ , 0 ) .

Ilustrasi gambar kubus yang dimaksud pada soal adalah sebagai berikut:

Ingat bahwa jika diketahui vektor  dan , maka perkalian titik (dot product) antara  dan  mengikuti rumus berikut:

Panjang vektor  dapat dicari dengan rumus berikut:

Proyeksi vektor  pada  dapat dicari dengan rumus berikut:

Menentukan vektor  dan :

Dari ilustrasi, diketahui bahwa 

 

Maka vektor  dapat diperoleh dari penjumlahan dua vektor secara aljabar sebagaimana perhitungan berikut:

Sedangkan vektor  dapat diperoleh dari vektor , yaitu:

Sehingga,

Proyeksi  pada vektor , yaitu:

Dengan demikian, proyeksi  pada vektor  adalah .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

3

Iklan

Iklan

Pertanyaan serupa

Diketahui vektor a = 3 i + 5 j ​ − 2 k , vektor b = − i − 2 j ​ + 3 k dan vektor c = 2 i − j ​ + 4 k . b.Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor b pada arah vektor ( a − 2 c ) .

2

4.2

Jawaban terverifikasi

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Download di Google PlayDownload di AppstoreDownload di App Gallery

Produk Ruangguru

Hubungi Kami

Ruangguru WhatsApp

+62 815-7441-0000

Email info@ruangguru.com

info@ruangguru.com

Contact 02140008000

02140008000

Ikuti Kami

©2024 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia