Pertanyaan

Diketahui titik A ( 2 , 3 , − 1 ) , titik B ( − 2 , − 4 , 3 ) , dan vektor p = 4 i − 3 j + k . b.Tentukan proyeksi vektorortogonal vektor p pada arah AB .

Diketahui titik $A (2, 3, - 1)$ , titik $B (- 2, - 4, 3)$ , dan vektor $p = 4 i - 3 j + k$ .

b. Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor $p$ pada arah $AB$ .

DR

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

proyeksi vektorortogonal vektor p pada arah A B adalah ⎝ ⎛ − 9 4 − 9 7 9 4 ⎠ ⎞ .

proyeksi vektor ortogonal vektor

p

pada arah

A B

adalah

⎝ ⎛ - \frac{4}{9} - \frac{7}{9} \frac{4}{9} ⎠ ⎞

.

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah ⎝ ⎛ − 9 4 − 9 7 9 4 ⎠ ⎞ . Ingat! Jika diketahui vektor di bidang r = x i + y j maka dapat ditulis dalam bentuk vektor kolom sebagai berikut: r = ( x y ) Jika koordinat titik A ( x 1 , y 1 ) dan B ( x 2 , y 2 ) maka dapat ditetapkan: A B = ( x 2 − x 1 y 2 − y 1 ) Misalkan vektor a dan vektor b adalah vektor-vektor sembarang, dan vektor c adalahproyeksi vektor a pada arah vektor b makaproyeksi vektor ortogonal dari vektor a pada arah vektor b ditentukan oleh: c = ⎝ ⎛ ∣ ∣ b ∣ ∣ 2 a . b ⎠ ⎞ b Rumus untuk menentukan panjang vektor r = ( x y ) adalah sebagai berikut: ∣ ∣ r ∣ ∣ = x 2 + y 2 Rumus untuk menentukan hasil kali a . b jika diketahui vektor a = ( x 1 y 1 ) dan vektor b = ( x 2 y 2 ) adalah sebagai berikut: a ⋅ b = x 1 x 2 + y 1 y 2 Rumus untuk perkalian skalar m dengan vektor a = ( x 1 y 1 ) adalah sebagai berikut: m a = m ( x 1 x 2 ) = ( m x 1 m x 2 ) Diketahui: Titik A ( 2 , 3 , − 1 ) Titik B ( − 2 , − 4 , 3 ) Vektor p = 4 i − 3 j + k → p = ⎝ ⎛ 4 − 3 1 ⎠ ⎞ Ditanya:proyeksi vektorortogonal vektor p pada arah A B . Jawab: Dengan menggunakan rumus di atas, maka A B adalah: A B = = = ⎝ ⎛ x 2 − x 1 y 2 − y 1 z 2 − z 1 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 2 − 2 − 4 − 3 3 − ( − 1 ) ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 4 − 7 4 ⎠ ⎞ Jadi,proyeksi vektorortogonal vektor p pada arah A B adalah sebagai berikut: c = = = = = = ⎝ ⎛ ∣ ∣ A B ∣ ∣ 2 p . A B ⎠ ⎞ A B ( ( ( − 4 ) 2 + ( − 7 ) 2 + 4 2 ) 2 4 × ( − 4 ) + ( − 3 ) × ( − 7 ) + 1 × 4 ) ⎝ ⎛ − 4 − 7 4 ⎠ ⎞ ( 81 − 16 + 21 + 4 ) ⎝ ⎛ − 4 − 7 4 ⎠ ⎞ ( 81 9 ) ⎝ ⎛ − 4 − 7 4 ⎠ ⎞ 9 1 ⎝ ⎛ − 4 − 7 4 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 9 4 − 9 7 9 4 ⎠ ⎞ Dengan demikian,proyeksi vektorortogonal vektor p pada arah A B adalah ⎝ ⎛ − 9 4 − 9 7 9 4 ⎠ ⎞ .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah $⎝ ⎛ - \frac{4}{9} - \frac{7}{9} \frac{4}{9} ⎠ ⎞$ .

Ingat!

Jika diketahui vektor di bidang $r = x i + y j$ maka dapat ditulis dalam bentuk vektor kolom sebagai berikut:

$r = (x y)$

Jika koordinat titik $A (x_{1}, y_{1})$ dan $B (x_{2}, y_{2})$ maka dapat ditetapkan:

$A B = (x_{2} - x_{1} y_{2} - y_{1})$

Misalkan vektor $a$ dan vektor $b$ adalah vektor-vektor sembarang, dan vektor $c$ adalah proyeksi vektor $a$ pada arah vektor $b$ maka proyeksi vektor ortogonal dari vektor $a$ pada arah vektor $b$ ditentukan oleh:

$c = ⎝ ⎛ \frac{a . b}{∣ ∣ b ∣ ∣ ^{2}} ⎠ ⎞ b$

Rumus untuk menentukan panjang vektor $r = (x y)$ adalah sebagai berikut:

$∣ ∣ r ∣ ∣ = x^{2} + y^{2}$

Rumus untuk menentukan hasil kali $a . b$ jika diketahui vektor $a = (x_{1} y_{1})$ dan vektor $b = (x_{2} y_{2})$ adalah sebagai berikut:

$a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$

Rumus untuk perkalian skalar $m$ dengan vektor $a = (x_{1} y_{1})$ adalah sebagai berikut:

$m a = m (x_{1} x_{2}) = (m x_{1} m x_{2})$

Diketahui:

Titik $A (2, 3, - 1)$

Titik $B (- 2, - 4, 3)$

Vektor $p = 4 i - 3 j + k \to p = ⎝ ⎛ 4 - 3 1 ⎠ ⎞$

Ditanya: proyeksi vektor ortogonal vektor $p$ pada arah $A B$ .

Jawab:

Dengan menggunakan rumus di atas, maka $A B$ adalah:

$A B = = = ⎝ ⎛ x_{2} - x_{1} y_{2} - y_{1} z_{2} - z_{1} ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ - 2 - 2 - 4 - 3 3 - (- 1) ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ - 4 - 7 4 ⎠ ⎞$

Jadi, proyeksi vektor ortogonal vektor $p$ pada arah $A B$ adalah sebagai berikut:

$c = = = = = = ⎝ ⎛ \frac{p . A B}{∣ ∣ A B ∣ ∣ ^{2}} ⎠ ⎞ A B (\frac{4 \times ( - 4 ) + ( - 3 ) \times ( - 7 ) + 1 \times 4}{( ( - 4 ) ^{2} + ( - 7 ) ^{2} + 4 ^{2} ) ^{2}}) ⎝ ⎛ - 4 - 7 4 ⎠ ⎞ (\frac{- 16 + 21 + 4}{81}) ⎝ ⎛ - 4 - 7 4 ⎠ ⎞ (\frac{9}{81}) ⎝ ⎛ - 4 - 7 4 ⎠ ⎞ \frac{1}{9} ⎝ ⎛ - 4 - 7 4 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ - \frac{4}{9} - \frac{7}{9} \frac{4}{9} ⎠ ⎞$

Dengan demikian, proyeksi vektor ortogonal vektor $p$ pada arah $A B$ adalah $⎝ ⎛ - \frac{4}{9} - \frac{7}{9} \frac{4}{9} ⎠ ⎞$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

68

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Diberikan segitiga ABC dengan titik-titik sudut A ( 4 , − 3 , 2 ) , B ( 2 , − 2 , 6 ) , dan C ( 3 , 4 , 5 ) . Tunjukan bahwa proyeksi vektor ortogonal CA pada arah BA diwakili oleh vektor 2 i − ...

9

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui vektor a = 3 i + 5 j − 2 k , vektor b = − i − 2 j + 3 k dan vektor c = 2 i − j + 4 k . b.Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor b pada arah vektor ( a − 2 c ) .

2

4.2

Jawaban terverifikasi

Diberikan segitiga ABC dengan titik-titik sudut A ( 4 , − 3 , 2 ) , B ( 2 , − 2 , 6 ) , dan C ( 3 , 4 , 5 ) . Tunjukan bahwa proyeksi vektor ortogonal CA pada arah BA diwakili oleh vektor 2 i − ...

9

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui vektor a = 3 i + 5 j − 2 k , vektor b = − i − 2 j + 3 k dan vektor c = 2 i − j + 4 k . b.Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor b pada arah vektor ( a − 2 c ) .

2

4.2

Jawaban terverifikasi

Diberikan segitiga ABC dengan titik-titik sudut A ( 4 , − 3 , 2 ) , B ( 2 , − 2 , 6 ) , dan C ( 3 , 4 , 5 ) . b. Tunjukan bahwa proyeksi vektor ortogonal AC pada arah BC diwakili oleh vektor i + 6 ...

5

0.0

Jawaban terverifikasi