Pertanyaan

Diketahui jari-jari lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 2 h x + k = 0 adalah 2 . Jika lingkaran L menyinggung garis x − y = 0 . Tentukan nilai h dan k .

Diketahui jari-jari lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} - 2 h x + k = 0$ adalah $2$ . Jika lingkaran $L$ menyinggung garis $x - y = 0$ . Tentukan nilai $h$ dan $k$ .

Z. Apriani

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Institut Teknologi Bandung

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai h dan k berturut-turut adalah 2 2 dan 4 .

nilai

h

dan

k

berturut-turut adalah

22

dan

4

Pembahasan

Ingat rumus jari-jari lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 berikut: r = d = 4 1 A 2 + 4 1 B 2 − C Rumus jari-jari lingkaran dengan garis singgung a x + b y + c = 0 berikut: r = d = ∣ ∣ a 2 + b 2 a x 1 + b y 1 + c ∣ ∣ Dan titik pusat lingkaran sebagai berikut: P ( a , b ) = P ( − 2 A , − 2 B ) Diketahui: jari-jari lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 2 h x + k = 0 adalah 2 . L menyinggung garis x − y = 0 . Berdasarkan rumus dan informasi di atas, maka persoalan tersebut dapat diselesaikan sebagai berikut: r = 4 1 A 2 + 4 1 B 2 − C 2 = 4 1 ( − 2 h ) 2 + 4 1 0 2 − k 2 = 4 1 4 h 2 − k 2 2 = ( h 2 − k ) 2 4 = h 2 − k ...1 Kemudian titik pusat lingkaran adalah sebagai berikut: P ( a , b ) = = = P ( − 2 A , − 2 B ) P ( − 2 ( − 2 h ) , − 2 0 ) P ( h , 0 ) Dan jari-jarilingkaran dengan garis singgung x − y = 0 berikut: r 2 2 2 h = = = = = ∣ ∣ a 2 + b 2 a x 1 + b y 1 + c ∣ ∣ ∣ ∣ 1 2 + ( − 1 ) 2 1 ⋅ h + ( − 1 ) ⋅ 0 + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ 1 + 1 h ∣ ∣ 2 h 2 2 Sehingga nilai k dapat ditentukan dengan substitusi nilai h yang diperoleh di atas ke dalam persamaan 1 sebagai berikut: 4 4 4 k = = = = = h 2 − k ( 2 2 ) 2 − k 8 − k 8 − 4 4 Dengan demikian, nilai h dan k berturut-turut adalah 2 2 dan 4 .

Ingat rumus jari-jari lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ berikut:

$r = d = \frac{1}{4} A^{2} + \frac{1}{4} B^{2} - C$

Rumus jari-jari lingkaran dengan garis singgung $a x + b y + c = 0$ berikut:

$r = d = ∣ ∣ \frac{a x _{1} + b y _{1} + c}{a ^{2} + b ^{2}} ∣ ∣$

Dan titik pusat lingkaran sebagai berikut:

$P (a, b) = P (- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2})$

Diketahui:

jari-jari lingkaran $L \equiv x^{2} + y^{2} - 2 h x + k = 0$ adalah $2$ .
$L$ menyinggung garis $x - y = 0$ .

Berdasarkan rumus dan informasi di atas, maka persoalan tersebut dapat diselesaikan sebagai berikut:

$r = \frac{1}{4} A^{2} + \frac{1}{4} B^{2} - C 2 = \frac{1}{4} (- 2 h)^{2} + \frac{1}{4} 0^{2} - k 2 = \frac{1}{4} 4 h^{2} - k 2^{2} = (h^{2} - k)^{2} 4 = h^{2} - k ...1$

Kemudian titik pusat lingkaran adalah sebagai berikut:

$P (a, b) = = = P (- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2}) P (- \frac{( - 2 h )}{2}, - \frac{0}{2}) P (h, 0)$

Dan jari-jari lingkaran dengan garis singgung $x - y = 0$ berikut:

$r 222 h = = = = = ∣ ∣ \frac{a x _{1} + b y _{1} + c}{a ^{2} + b ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{1 \cdot h + ( - 1 ) \cdot 0 + 0}{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{h}{1 + 1} ∣ ∣ \frac{h}{2} 22$