Pertanyaan

Lingkaran x 2 + y 2 − 4 m x + 24 = 0 dengan jari-jari 4 menyinggung garis x − y = 0 . Tentukan: a. nilai m b.pusat lingkaran.

Lingkaran $x^{2} + y^{2} - 4 m x + 24 = 0$ dengan jari-jari $4$ menyinggung garis $x - y = 0$ . Tentukan:
a. nilai $m$
b. pusat lingkaran. $\;\;$

M. Claudia

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Nusa Cendana Kupang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

pusat lingkaran tersebut adalah ( 4 2 , 0 ) .

pusat lingkaran tersebut adalah

(42, 0)

. $\;\;$

Pembahasan

Ingat, Pusat lingkaran x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 ( − 2 1 A , − 2 1 B ) Jari-jari lingkaran dengan pusat ( x 1 , y 1 ) menyinggung garis a x + b y + c = 0 r = ∣ ∣ a 2 + b 2 a x 1 + b y 1 + c ∣ ∣ Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh sebagai berikut Lingkaran x 2 + y 2 − 4 m x + 24 = 0 dengan jari-jari 4 sehingga pusat lingkarannya ( − 2 1 A , − 2 1 B ) = ( − 2 1 ⋅ − 4 m , − 2 1 ⋅ 0 ) = ( 2 m , 0 ) a. Nilai m Menghitung nilai m dengan rumus jari-jari lingkaran dengan pusat ( x 1 , y 1 ) menyinggung garis a x + b y + c = 0 Lingkaran dengan pusat ( 2 m , 0 ) dan menyinggung garis x − y = 0 r 4 4 4 4 4 2 2 m m m = = = = = = = = = ∣ ∣ a 2 + b 2 a x 1 + b y 1 + c ∣ ∣ ∣ ∣ 1 2 + ( − 1 ) 2 ( 1 ) ( 2 m ) + ( − 1 ) ( 0 ) + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ 1 + 1 2 m + 0 + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ 2 2 m ∣ ∣ 2 2 m 2 m 4 2 2 4 2 2 2 Dengan demikian, nilai m = 2 2 . b. Pusat lingkaran Pusat lingkaran tersebut adalah ( 2 m , 0 ) dengan m = 2 2 sehingga ( 2 m , 0 ) = ( 2 ⋅ 2 2 , 0 ) = ( 4 2 , 0 ) Dengan demikian, pusat lingkaran tersebut adalah ( 4 2 , 0 ) .

Ingat,

Pusat lingkaran $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$

$(- \frac{1}{2} A, - \frac{1}{2} B)$

Jari-jari lingkaran dengan pusat $(x_{1}, y_{1})$ menyinggung garis $a x + b y + c = 0$

$r = ∣ ∣ \frac{a x _{1} + b y _{1} + c}{a ^{2} + b ^{2}} ∣ ∣$

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh sebagai berikut

Lingkaran $x^{2} + y^{2} - 4 m x + 24 = 0$ dengan jari-jari $4$ sehingga pusat lingkarannya

$(- \frac{1}{2} A, - \frac{1}{2} B) = (- \frac{1}{2} \cdot - 4 m, - \frac{1}{2} \cdot 0) = (2 m, 0)$

a. Nilai $m$

Menghitung nilai $m$ dengan rumus jari-jari lingkaran dengan pusat $(x_{1}, y_{1})$ menyinggung garis $a x + b y + c = 0$

Lingkaran dengan pusat $(2 m, 0)$ dan menyinggung garis $x - y = 0$

$r 444442 2 m m m = = = = = = = = = ∣ ∣ \frac{a x _{1} + b y _{1} + c}{a ^{2} + b ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{( 1 ) ( 2 m ) + ( - 1 ) ( 0 ) + 0}{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{2 m + 0 + 0}{1 + 1} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{2 m}{2} ∣ ∣ \frac{2 m}{2} 2 m 42 \frac{4 2}{2} 22$