Pertanyaan

Diketahui garis g : 3 x + n y = 25 bersinggungan dengan lingkaran x 2 + y 2 = 25 . Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis g dan melalui titik pusat lingkaran adalah ....

Diketahui garis $g : 3 x + n y = 25$ bersinggungan dengan lingkaran $x^{2} + y^{2} = 25$ . Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $g$ dan melalui titik pusat lingkaran adalah ....

$y = x$
$3 x = 4 y$
$4 x = 3 y$
$x + y = 0$
$4 x + 3 y = 25$

Y. Endah

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Institut Teknologi Bandung

Jawaban terverifikasi

Jawaban

persamaan garis singugungya adalah 4 y = − 3 x atau 4 y = 3 x .

persamaan garis singugungya adalah

4 y = - 3 x atau 4 y = 3 x

Pembahasan

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C. ngat bahwa , persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m dan pusat ( a , b ) adalah y − b = m ( x − a ) Diketahui garis g : 3 x + n y = 25 bersinggungan dengan lingkaran x 2 + y 2 = 25 maka y = n 25 − 3 x disubstitusikan pada x 2 + y 2 = 25 sehingga x 2 + y 2 x 2 + ( n 25 − 3 x ) 2 n 2 x 2 + 625 − 150 x + 9 x 2 ( n 2 + 9 ) x 2 − 150 x + 625 − 25 n 2 = = = = 25 25 25 n 2 0 Karena diperoleh bentuk persamaan kuadrat, maka akan digunakan diskriminan untuk memperoleh n . D 0 0 0 0 0 n = = = = = = = b 2 − 4 a c ( − 150 ) 2 − 4 ⋅ ( n 2 + 9 ) ⋅ ( 625 − 25 n 2 ) 22.500 + ( − 4 n 2 − 36 ) ( 625 − 25 n 2 ) 22.500 − 2.500 n 2 + 100 n 4 − 22.500 + 900 n 2 100 n 4 − 1.600 n 2 n 2 − 16 ± 4 sehingga garis g : 3 x + 4 y = 25 atau g : 3 x − 4 y = 25 . Perhatikan bahwa gradien garis g adalah − 4 3 , sehingga gradien yang tegak lurus dengan − 4 3 adalah 3 4 . Diketahui n = ± 4 Berdasarkan informasi sebelumnya, persamaan lingkarannya adalah x 2 + y 2 = 25 dimana pusatnya ( 0 , 0 ) dan jari-jari 5 , sehingga persamaan garis singgungnya adalah 3 x − 4 y = 25 atau 3 x + 4 y = 25 . saat n = − 4 dan 3 x − 4 y = 25 , gradiennya adalah 4 3 dan gradien tegak lurusnya adalah − 3 4 (ingat bahwa garis yang saling tegak lurus gradiennya memenuhi m a ⋅ m b = − 1 ) sehinngge persamaan garis singgungnya adalah y − y 1 y − 0 y 3 y = = = = m ( x − x 1 ) − 3 4 ( x − 0 ) − 3 4 x − 4 x saat n = 4 dan 3 x + 4 y = 25 , gradiennya adalah − 4 3 dan gradien tegak lurusnya adalah 3 4 (ingat bahwa garis yang saling tegak lurus gradiennya memenuhi m a ⋅ m b = − 1 ) sehinngge persamaan garis singgungnya adalah y − y 1 y − 0 y 3 y = = = = m ( x − x 1 ) 3 4 ( x − 0 ) 3 4 x 4 x Dengan demikian, persamaan garis singugungya adalah 4 y = − 3 x atau 4 y = 3 x .

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.

ngat bahwa , persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien $m$ dan pusat $(a, b)$ adalah

$y - b = m (x - a)$

Diketahui garis $g : 3 x + n y = 25$ bersinggungan dengan lingkaran $x^{2} + y^{2} = 25$ maka $y = \frac{25 - 3 x}{n}$ disubstitusikan pada $x^{2} + y^{2} = 25$ sehingga

$x^{2} + y^{2} x^{2} + (\frac{25 - 3 x}{n})^{2} n^{2} x^{2} + 625 - 150 x + 9 x^{2} (n^{2} + 9) x^{2} - 150 x + 625 - 25 n^{2} = = = = 2525 25 n^{2} 0$

Karena diperoleh bentuk persamaan kuadrat, maka akan digunakan diskriminan untuk memperoleh $n$ .

$D 00000 n = = = = = = = b^{2} - 4 a c (- 150)^{2} - 4 \cdot (n^{2} + 9) \cdot (625 - 25 n^{2}) 22.500 + (- 4 n^{2} - 36) (625 - 25 n^{2}) 22.500 - 2.500 n^{2} + 100 n^{4} - 22.500 + 900 n^{2} 100 n^{4} - 1.600 n^{2} n^{2} - 16 \pm 4$

sehingga garis $g : 3 x + 4 y = 25$ atau $g : 3 x - 4 y = 25$ . Perhatikan bahwa gradien garis $g$ adalah $- \frac{3}{4}$ , sehingga gradien yang tegak lurus dengan $- \frac{3}{4}$ adalah $\frac{4}{3}$ . Diketahui $n = \pm 4$

Berdasarkan informasi sebelumnya, persamaan lingkarannya adalah $x^{2} + y^{2} = 25$ dimana pusatnya $(0, 0)$ dan jari-jari $5$ , sehingga persamaan garis singgungnya adalah $3 x - 4 y = 25 atau 3 x + 4 y = 25$ .

saat $n = - 4$ dan $3 x - 4 y = 25$ , gradiennya adalah $\frac{3}{4}$ dan gradien tegak lurusnya adalah $- \frac{4}{3}$ (ingat bahwa garis yang saling tegak lurus gradiennya memenuhi $m_{a} \cdot m_{b} = - 1$ ) sehinngge persamaan garis singgungnya adalah

$y - y_{1} y - 0 y 3 y = = = = m (x - x_{1}) - \frac{4}{3} (x - 0) - \frac{4}{3} x - 4 x$

saat $n = 4$ dan $3 x + 4 y = 25$ , gradiennya adalah $- \frac{3}{4}$ dan gradien tegak lurusnya adalah $\frac{4}{3}$ (ingat bahwa garis yang saling tegak lurus gradiennya memenuhi $m_{a} \cdot m_{b} = - 1$ ) sehinngge persamaan garis singgungnya adalah