Diketahui deret geometri tak hingga mempunyai jumlah sama dengan nilai maksimum fungsi f ( x ) = − 3 1 ​ x 3 + x + 3 4 ​ untuk − 1 ≤ x ≤ 2 . Selisih suku kedua dan suku pertama deret geometri tersebut adalah − 4 f ′ ( 0 ) . Rasio deret geometri tersebut adalah …. (SBMPTN 2015)

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah D. Misalkan S ∞ ​ jumlah dari deret geometri tak hingga dan f maks ​ nilai maksimum dari fungsi f ( x ) = − 3 1 ​ x 3 + x + 3 4 ​ . Diketahui S ∞ ​ = f maks ​ . Untuk menentukan rasio dari deret geometri tersebut dapat dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga. Namun perlu diketahui nilai jumlah deret tak hingga dengan menentukan nilai maksimum dari fungsi f ( x ) = − 3 1 ​ x 3 + x + 3 4 ​ untuk − 1 ≤ x ≤ 2 . Untuk menentukan nilai maksimum suatu fungsi dapat menggunakan langkah-langkah berikut: Menentukan titik stasioner f ′ ( x ) = 0 Menentukan jenis stasionernya dengan turunan kedua. Apabila memperoleh nilai positif fungsi bernilaiminimum pada titik tersebutdan bernilai negatif artinya fungsi maksimum pada titik tersebut. Setelah memperoleh titik maksimum tentukan nilai maksimum dengan mensubstitusi titik tersebut. Berikut adalah langkah pengerjaannya: Pertama akan dicari titik stasioner. Turunan pertama dari fungsi f ( x ) = − 3 1 ​ x 3 + x + 3 4 ​ adalah f ′ ( x ) = − x 2 + 1 . Perhatikan bahwa, − x 2 + 1 − ( x 2 − 1 ) − ( x − 1 ) ( x + 1 ) ​ = = = ​ 0 0 0 ​ Titik stasionernya adalah x = − 1 dan x = 1 . Kedua, akan ditentukan jenis stasionernya dengan turunan kedua. Turunan kedua dari fungsi f ( x ) = − 3 1 ​ x 3 + x + 3 4 ​ adalah f ′′ ( x ) = − 2 x . Pada titik x = − 1 fungsi bernilai minimum karena f ′′ ( x ) = − 2 ( − 1 ) = 2 positif. Pada titik x = 1 fungsi bernilai maksimum karena f ′′ ( x ) = − 2 ( 1 ) = − 2 negatif. Ketiga, gunakan titik x = 1 untuk menentukan nilai maksimumnya. Substitusi pada fungsi f ( x ) = − 3 1 ​ x 3 + x + 3 4 ​ diperoleh, f ( 1 ) = − 3 1 ​ ( 1 ) 3 + 1 + 3 4 ​ = 2 . Hal ini berarti, f maks ​ = 2 . Selanjutnya gunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga untuk menentukan rasio dari deret tersebut. Ingat rumus jumlah deret geometri tak hingga: S ∞ ​ = 1 − r a ​ Karena S ∞ ​ = f maks ​ sehingga S ∞ ​ 2 2 ( 1 − r ) ​ = = = ​ 1 − r a ​ 1 − r a ​ a ​ Gunakan selisih suku kedua dan suku pertama adalah − 4 f ′ ( 0 ) . Nilai dari f ′ ( 0 ) = − ( 0 ) 2 + 1 = 1 , sehingga U 2 ​ − U 1 ​ a ⋅ r − a a ⋅ ( r − 1 ) 2 ( 1 − r ) ⋅ ( r − 1 ) r − 1 − r 2 + r r 2 − 2 r − 1 r ​ = = = = = = = ​ − 4 ⋅ f ′ ( 0 ) − 4 ⋅ 1 − 4 − 4 − 2 4 ​ 0 1 ± 2 ​ ​ Karena deret geometri tak hingga konvergen ke suatu nilai, maka rasio harus pada interval − 1 < r < 1 . Hal ini berarti nilai rasio adalah r = 1 − 2 ​ . Dengan demikian, rasio deret geometri tersebut adalah r = 1 − 2 ​ . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.