Pertanyaan

Diketahui a = ( 4 , 1 , 3 ) dan b = ( 4 , 2 , − 2 ) . Tentukanlah: a. Vektor proyeksi ortogonal dari a terhadap b ; b. Panjang dari vektor proyeksi tersebut; c. Komponendari a yang tegak lurus terhadap b .

Diketahui $a = (4, 1, 3)$ dan $b = (4, 2, - 2)$ . Tentukanlah:

a. Vektor proyeksi ortogonal dari $a$ terhadap $b$ ;

b. Panjang dari vektor proyeksi tersebut;

c. Komponen dari $a$ yang tegak lurus terhadap $b$ .

P. Tessalonika

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Medan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

komponendari a yang tegak lurus terhadap b adalah p = 2 i + 4 k .

komponen dari

a

yang tegak lurus terhadap

b

adalah

p = 2 i + 4 k

Pembahasan

Soal nomor a. Vektor proyeksi ortogonal dari a terhadap b dapat dicari dengan rumus berikut : a b = ∣ ∣ b ∣ ∣ 2 a ∙ b b Dimana : a ∙ b = ( x 1 ⋅ x 2 ) + ( y 1 ⋅ y 2 ) + ( z 1 ⋅ z 2 ) ∣ ∣ b ∣ ∣ = ( x 2 ) 2 + ( y 2 ) 2 + ( z 2 ) 2 Akibatnya diperoleh : a b = = = = = = = = ∣ ∣ b ∣ ∣ 2 a ∙ b b ( 4 2 + 2 2 + ( − 2 ) 2 ) 2 ( 4 × 4 ) + ( 1 × 2 ) + ( 3 × ( − 2 ) ) ⎝ ⎛ 4 2 − 2 ⎠ ⎞ ( 16 + 4 + 4 ) 2 16 + 2 − 6 ⎝ ⎛ 4 2 − 2 ⎠ ⎞ ( 24 ) 2 12 ⎝ ⎛ 4 2 − 2 ⎠ ⎞ 24 12 ⎝ ⎛ 4 2 − 2 ⎠ ⎞ 2 1 ⎝ ⎛ 4 2 − 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 2 1 − 1 ⎠ ⎞ 2 i + j − k Dengan demikian, vektor proyeksi ortogonal dari a terhadap b adalah a b = 2 i + j − k . Soal nomor b. Panjang dari vektor proyeksi a b yaitu : ∣ ∣ a b ∣ ∣ = = = 2 2 + 1 2 + ( − 1 ) 2 4 + 1 + 1 6 Dengan demikian, panjang dari vektor proyeksi tersebut adalah ∣ ∣ a b ∣ ∣ = 6 . Soal nomor c. Komponendari a yang tegak lurus terhadap b dapat dicari dengan cara yaitu : p = = = = = = = a − c a − ⎝ ⎛ ∣ ∣ b ∣ ∣ 2 a ∙ b b ⎠ ⎞ a − a b ⎝ ⎛ 4 1 3 ⎠ ⎞ − ⎝ ⎛ 2 1 − 1 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 4 − 2 1 − 1 3 − ( − 1 ) ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 2 0 4 ⎠ ⎞ 2 i + 4 k Dengan demikian, komponendari a yang tegak lurus terhadap b adalah p = 2 i + 4 k .

Soal nomor a.

Vektor proyeksi ortogonal dari $a$ terhadap $b$ dapat dicari dengan rumus berikut :

$a_{b} = \frac{a ∙ b}{∣ ∣ b ∣ ∣ ^{2}} b$

Dimana :

$a ∙ b = (x_{1} \cdot x_{2}) + (y_{1} \cdot y_{2}) + (z_{1} \cdot z_{2})$

$∣ ∣ b ∣ ∣ = (x_{2})^{2} + (y_{2})^{2} + (z_{2})^{2}$

Akibatnya diperoleh :

$a_{b} = = = = = = = = \frac{a ∙ b}{∣ ∣ b ∣ ∣ ^{2}} b \frac{( 4 \times 4 ) + ( 1 \times 2 ) + ( 3 \times ( - 2 ) )}{( 4 ^{2} + 2 ^{2} + ( - 2 ) ^{2} ) ^{2}} ⎝ ⎛ 42 - 2 ⎠ ⎞ \frac{16 + 2 - 6}{( 16 + 4 + 4 ) ^{2}} ⎝ ⎛ 42 - 2 ⎠ ⎞ \frac{12}{( 24 ) ^{2}} ⎝ ⎛ 42 - 2 ⎠ ⎞ \frac{12}{24} ⎝ ⎛ 42 - 2 ⎠ ⎞ \frac{1}{2} ⎝ ⎛ 42 - 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 21 - 1 ⎠ ⎞ 2 i + j - k$

Dengan demikian, vektor proyeksi ortogonal dari $a$ terhadap $b$ adalah $a_{b} = 2 i + j - k$ .

Soal nomor b.

Panjang dari vektor proyeksi $a_{b}$ yaitu :

$∣ ∣ a_{b} ∣ ∣ = = = 2^{2} + 1^{2} + (- 1)^{2} 4 + 1 + 1 6$

Dengan demikian, panjang dari vektor proyeksi tersebut adalah $∣ ∣ a_{b} ∣ ∣ = 6$ .

Soal nomor c.

Komponen dari $a$ yang tegak lurus terhadap $b$ dapat dicari dengan cara yaitu :

$p = = = = = = = a - c a - ⎝ ⎛ \frac{a ∙ b}{∣ ∣ b ∣ ∣ ^{2}} b ⎠ ⎞ a - a_{b} ⎝ ⎛ 413 ⎠ ⎞ - ⎝ ⎛ 21 - 1 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 4 - 2 1 - 1 3 - (- 1) ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 204 ⎠ ⎞ 2 i + 4 k$

Dengan demikian, komponen dari $a$ yang tegak lurus terhadap $b$ adalah $p = 2 i + 4 k$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui titik-titik A ( 2 , 1 , − 3 ) , B ( 10 , 1 , 3 ) dan C ( 8 , 4 , − 1 ) . Jika titik D merupakan proyeksi titik C pada garis AB maka panjang AD sama dengan ...

4.2

Jawaban terverifikasi

Sebuah kubus ABCD ⋅ EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm . Tunjukkan jarak BG dan CE .

1.0

Jawaban terverifikasi

Sebuah kubus ABCD ⋅ EFGH memiliki panjang rusuk 8 cm . Tentukan jarak AH dan DF .

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui vektor a = 3 i + 5 j − 2 k , vektor b = − i − 2 j + 3 k dan vektor c = 2 i − j + 4 k . b.Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor b pada arah vektor ( a − 2 c ) .

4.2

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A ( 1 , 2 , 2 ) , titik B ( 0 , 1 , 0 ) , dan titik C ( 2 , − 1 , − 1 ) . Tentukan ruas garis berarah AB dan ruas garis berarah AC dalam bentukvektor kolom. Tentukan proyeksi ...

5.0

Jawaban terverifikasi