Sebuah kubus ABCD ⋅ EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm . Tunjukkan jarak BG dan CE .

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah 3 2 ​ 6 ​ cm. Perhatikan gambar kubus ABCD ⋅ EFGH berikut. Titik-titik pada garis BG dan CE yaitu B ( 4 , 4 , 0 ) , G ( 0 , 4 , 4 ) , C ( 0 , 4 , 0 ) dan E ( 4 , 0 , 4 ) , dimana b adalah vektor posisi titik B , g ​ adalah vektor posisi titik G , c adalah vektor posisi titik C , dan e adalah vektor posisi titik E . Vektor kedua garis yaitu : BG ⇀ ​ = = = = ​ g ​ − b ⎝ ⎛ ​ 0 4 4 ​ ⎠ ⎞ ​ − ⎝ ⎛ ​ 4 4 0 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎝ ⎛ ​ 0 − 4 4 − 4 4 − 0 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎝ ⎛ ​ − 4 0 4 ​ ⎠ ⎞ ​ ​ CE ⇀ ​ = = = = ​ e − c ⎝ ⎛ ​ 4 0 4 ​ ⎠ ⎞ ​ − ⎝ ⎛ ​ 0 4 0 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎝ ⎛ ​ 4 − 0 0 − 4 4 − 0 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎝ ⎛ ​ 4 − 4 4 ​ ⎠ ⎞ ​ ​ Misalkan vektor normal kedua garis adalah u , maka diperoleh : u ​ = = = = = = = ​ BG ⇀ × CE ⇀ ⎝ ⎛ ​ − 4 0 4 ​ ⎠ ⎞ ​ × ⎝ ⎛ ​ 4 − 4 4 ​ ⎠ ⎞ ​ ∣ ∣ ​ i − 4 4 ​ j 0 − 4 ​ k 4 4 ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 0 − 4 ​ 4 4 ​ ∣ ∣ ​ i − ∣ ∣ ​ − 4 4 ​ 4 4 ​ ∣ ∣ ​ j + ∣ ∣ ​ − 4 4 ​ 0 − 4 ​ ∣ ∣ ​ k ( 0 − ( − 16 ) ) i − ( − 16 − 16 ) j + ( 16 − 0 ) k 16 i + 32 j + 16 k ⎝ ⎛ ​ 16 32 16 ​ ⎠ ⎞ ​ ​ Maka panjang u diperoleh dengan rumus menentukan panjang vektor pada tiga dimensi, yaitu : ∣ ∣ ​ u ∣ ∣ ​ ​ = = = = = = ​ x 2 + y 2 + z 2 ​ 1 6 2 + 3 2 2 + 1 6 2 ​ 256 + 1024 + 256 ​ 1536 ​ 256 × 6 ​ 16 6 ​ ​ Misalkan dipilih salah satu vektor yang menghubungkan BG dan CE yaitu BE ⇀ . BE ⇀ ​ = = = = ​ E ⇀ − B ⇀ ⎝ ⎛ ​ 4 0 4 ​ ⎠ ⎞ ​ − ⎝ ⎛ ​ 4 4 0 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎝ ⎛ ​ 4 − 4 0 − 4 4 − 0 ​ ⎠ ⎞ ​ ⎝ ⎛ ​ 0 − 4 4 ​ ⎠ ⎞ ​ ​ d adalah panjang proyeksi BE ⇀ ke u , diperoleh : d ​ = = = = = = = = ​ ∣ ∣ ​ ∣ u ∣ BE ⇀ ∙ u ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 16 6 ​ ( 0 − 4 4 ​ ) ( 16 32 16 ​ ) ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 16 6 ​ ( 0 × 16 ) + ( − 4 × 32 ) + ( 4 × 16 ) ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 16 6 ​ − 128 + 64 ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 16 6 ​ − 4 64 ​ ∣ ∣ ​ 6 ​ 4 ​ × 6 ​ 6 ​ ​ 6 4 ​ 6 ​ 3 2 ​ 6 ​ ​ Dengan demikian, jarak BG dan CE adalah 3 2 ​ 6 ​ cm.